แก้โจทย์ {l}{8x+2y=-1}{3x+4y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 2 y = - 1 } \\ { 3 x + 4 y = - 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-\frac{1}{13}\approx -0.076923077$$

$$y=-\frac{5}{26}\approx -0.192307692$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$8x+2y=-1,3x+4y=-1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$8x+2y=-1$$

ลบ 2y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$8x=-2y-1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 8

$$x=\frac{1}{8}\left(-2y-1\right)$$

คูณ \frac{1}{8} ด้วย -2y-1

$$x=-\frac{1}{4}y-\frac{1}{8}$$

ทดแทน -\frac{y}{4}-\frac{1}{8} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x+4y=-1

$$3\left(-\frac{1}{4}y-\frac{1}{8}\right)+4y=-1$$

คูณ 3 ด้วย -\frac{y}{4}-\frac{1}{8}

$$-\frac{3}{4}y-\frac{3}{8}+4y=-1$$

เพิ่ม -\frac{3y}{4} ไปยัง 4y

$$\frac{13}{4}y-\frac{3}{8}=-1$$

เพิ่ม \frac{3}{8} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{13}{4}y=-\frac{5}{8}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{13}{4} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{5}{26}$$

ทดแทน -\frac{5}{26} สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{4}y-\frac{1}{8} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{4}\left(-\frac{5}{26}\right)-\frac{1}{8}$$

คูณ -\frac{1}{4} ครั้ง -\frac{5}{26} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{5}{104}-\frac{1}{8}$$

เพิ่ม -\frac{1}{8} ไปยัง \frac{5}{104} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{1}{13}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{1}{13},y=-\frac{5}{26}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$8x+2y=-1,3x+4y=-1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}8&2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}8&2\\3&4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{8\times 4-2\times 3}&-\frac{2}{8\times 4-2\times 3}\\-\frac{3}{8\times 4-2\times 3}&\frac{8}{8\times 4-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&-\frac{1}{13}\\-\frac{3}{26}&\frac{4}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\left(-1\right)-\frac{1}{13}\left(-1\right)\\-\frac{3}{26}\left(-1\right)+\frac{4}{13}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\\-\frac{5}{26}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{1}{13},y=-\frac{5}{26}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$8x+2y=-1,3x+4y=-1$$

เพื่อทำให้ 8x และ 3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 8

$$3\times 8x+3\times 2y=3\left(-1\right),8\times 3x+8\times 4y=8\left(-1\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$24x+6y=-3,24x+32y=-8$$

ลบ 24x+32y=-8 จาก 24x+6y=-3 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$24x-24x+6y-32y=-3+8$$

เพิ่ม 24x ไปยัง -24x ตัดพจน์ 24x และ -24x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$6y-32y=-3+8$$

เพิ่ม 6y ไปยัง -32y

$$-26y=-3+8$$

เพิ่ม -3 ไปยัง 8

$$-26y=5$$

หารทั้งสองข้างด้วย -26

$$y=-\frac{5}{26}$$

ทดแทน -\frac{5}{26} สำหรับ y ใน 3x+4y=-1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x+4\left(-\frac{5}{26}\right)=-1$$

คูณ 4 ด้วย -\frac{5}{26}

$$3x-\frac{10}{13}=-1$$

เพิ่ม \frac{10}{13} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-\frac{3}{13}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=-\frac{1}{13}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{1}{13},y=-\frac{5}{26}$$