แก้โจทย์ {l}{8k+a=3650}{15k+a=150}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 k + a = 3650 } \\ { 15 k + a = 150 } \end{array} \right.$$

หาค่า k, a

$$k=-500$$

$$a=7650$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ k โดยแยก k ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$8k+a=3650$$

ลบ a จากทั้งสองข้างของสมการ

$$8k=-a+3650$$

หารทั้งสองข้างด้วย 8

$$k=\frac{1}{8}\left(-a+3650\right)$$

คูณ \frac{1}{8} ด้วย -a+3650

$$k=-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4}$$

ทดแทน -\frac{a}{8}+\frac{1825}{4} สำหรับ k ในอีกสมการหนึ่ง 15k+a=150

$$15\left(-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4}\right)+a=150$$

คูณ 15 ด้วย -\frac{a}{8}+\frac{1825}{4}

$$-\frac{15}{8}a+\frac{27375}{4}+a=150$$

เพิ่ม -\frac{15a}{8} ไปยัง a

$$-\frac{7}{8}a+\frac{27375}{4}=150$$

ลบ \frac{27375}{4} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{7}{8}a=-\frac{26775}{4}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{7}{8} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$a=7650$$

ทดแทน 7650 สำหรับ a ใน k=-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า k โดยตรงได้

$$k=-\frac{1}{8}\times 7650+\frac{1825}{4}$$

คูณ -\frac{1}{8} ด้วย 7650

$$k=\frac{-3825+1825}{4}$$

เพิ่ม \frac{1825}{4} ไปยัง -\frac{3825}{4} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$k=-500$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$k=-500,a=7650$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-15}&-\frac{1}{8-15}\\-\frac{15}{8-15}&\frac{8}{8-15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{15}{7}&-\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 3650+\frac{1}{7}\times 150\\\frac{15}{7}\times 3650-\frac{8}{7}\times 150\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-500\\7650\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ k และ a

$$k=-500,a=7650$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

ลบ 15k+a=150 จาก 8k+a=3650 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$8k-15k+a-a=3650-150$$

เพิ่ม a ไปยัง -a ตัดพจน์ a และ -a ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$8k-15k=3650-150$$

เพิ่ม 8k ไปยัง -15k

$$-7k=3650-150$$

เพิ่ม 3650 ไปยัง -150

$$-7k=3500$$

หารทั้งสองข้างด้วย -7

$$k=-500$$

ทดแทน -500 สำหรับ k ใน 15k+a=150 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$15\left(-500\right)+a=150$$

คูณ 15 ด้วย -500

$$-7500+a=150$$

เพิ่ม 7500 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$a=7650$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$k=-500,a=7650$$