แก้โจทย์ {l}{7x+2y=24}{8x+2y=30}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + 2 y = 24 } \\ { 8 x + 2 y = 30 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=6$$

$$y=-9$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$7x+2y=24,8x+2y=30$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$7x+2y=24$$

ลบ 2y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$7x=-2y+24$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$x=\frac{1}{7}\left(-2y+24\right)$$

คูณ \frac{1}{7} ด้วย -2y+24

$$x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}$$

ทดแทน \frac{-2y+24}{7} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 8x+2y=30

$$8\left(-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}\right)+2y=30$$

คูณ 8 ด้วย \frac{-2y+24}{7}

$$-\frac{16}{7}y+\frac{192}{7}+2y=30$$

เพิ่ม -\frac{16y}{7} ไปยัง 2y

$$-\frac{2}{7}y+\frac{192}{7}=30$$

ลบ \frac{192}{7} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{2}{7}y=\frac{18}{7}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{2}{7} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-9$$

ทดแทน -9 สำหรับ y ใน x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{2}{7}\left(-9\right)+\frac{24}{7}$$

คูณ -\frac{2}{7} ด้วย -9

$$x=\frac{18+24}{7}$$

เพิ่ม \frac{24}{7} ไปยัง \frac{18}{7} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=6$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=6,y=-9$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$7x+2y=24,8x+2y=30$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-2\times 8}&-\frac{2}{7\times 2-2\times 8}\\-\frac{8}{7\times 2-2\times 8}&\frac{7}{7\times 2-2\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\4&-\frac{7}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24+30\\4\times 24-\frac{7}{2}\times 30\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=6,y=-9$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$7x+2y=24,8x+2y=30$$

ลบ 8x+2y=30 จาก 7x+2y=24 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$7x-8x+2y-2y=24-30$$

เพิ่ม 2y ไปยัง -2y ตัดพจน์ 2y และ -2y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$7x-8x=24-30$$

เพิ่ม 7x ไปยัง -8x

$$-x=24-30$$

เพิ่ม 24 ไปยัง -30

$$-x=-6$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$x=6$$

ทดแทน 6 สำหรับ x ใน 8x+2y=30 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$8\times 6+2y=30$$

คูณ 8 ด้วย 6

$$48+2y=30$$

ลบ 48 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2y=-18$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$y=-9$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=6,y=-9$$