แก้โจทย์ {l}{7x+18y=43}{2(x-3)+5=y-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + 18 y = 43 } \\ { 2 ( x - 3 ) + 5 = y - 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x-3

$$2x-6+5=y-1$$

เพิ่ม -6 และ 5 เพื่อให้ได้รับ -1

$$2x-1=y-1$$

ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$2x-1-y=-1$$

เพิ่ม 1 ไปทั้งสองด้าน

$$2x-y=-1+1$$

เพิ่ม -1 และ 1 เพื่อให้ได้รับ 0

$$2x-y=0$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$7x+18y=43$$

ลบ 18y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$7x=-18y+43$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$x=\frac{1}{7}\left(-18y+43\right)$$

คูณ \frac{1}{7} ด้วย -18y+43

$$x=-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}$$

ทดแทน \frac{-18y+43}{7} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x-y=0

$$2\left(-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}\right)-y=0$$

คูณ 2 ด้วย \frac{-18y+43}{7}

$$-\frac{36}{7}y+\frac{86}{7}-y=0$$

เพิ่ม -\frac{36y}{7} ไปยัง -y

$$-\frac{43}{7}y+\frac{86}{7}=0$$

ลบ \frac{86}{7} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{43}{7}y=-\frac{86}{7}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{43}{7} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน x=-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{18}{7}\times 2+\frac{43}{7}$$

คูณ -\frac{18}{7} ด้วย 2

$$x=\frac{-36+43}{7}$$

เพิ่ม \frac{43}{7} ไปยัง -\frac{36}{7} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1,y=2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x-3

$$2x-6+5=y-1$$

เพิ่ม -6 และ 5 เพื่อให้ได้รับ -1

$$2x-1=y-1$$

ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$2x-1-y=-1$$

เพิ่ม 1 ไปทั้งสองด้าน

$$2x-y=-1+1$$

เพิ่ม -1 และ 1 เพื่อให้ได้รับ 0

$$2x-y=0$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-18\times 2}&-\frac{18}{7\left(-1\right)-18\times 2}\\-\frac{2}{7\left(-1\right)-18\times 2}&\frac{7}{7\left(-1\right)-18\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{43}&\frac{18}{43}\\\frac{2}{43}&-\frac{7}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{43}\times 43\\\frac{2}{43}\times 43\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=1,y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x-3

$$2x-6+5=y-1$$

เพิ่ม -6 และ 5 เพื่อให้ได้รับ -1

$$2x-1=y-1$$

ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$2x-1-y=-1$$

เพิ่ม 1 ไปทั้งสองด้าน

$$2x-y=-1+1$$

เพิ่ม -1 และ 1 เพื่อให้ได้รับ 0

$$2x-y=0$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

เพื่อทำให้ 7x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 7

$$2\times 7x+2\times 18y=2\times 43,7\times 2x+7\left(-1\right)y=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$14x+36y=86,14x-7y=0$$

ลบ 14x-7y=0 จาก 14x+36y=86 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$14x-14x+36y+7y=86$$

เพิ่ม 14x ไปยัง -14x ตัดพจน์ 14x และ -14x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$36y+7y=86$$

เพิ่ม 36y ไปยัง 7y

$$43y=86$$

หารทั้งสองข้างด้วย 43

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน 2x-y=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x-2=0$$

เพิ่ม 2 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=2$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1,y=2$$