แก้โจทย์ {l}{7a-10b=-64}{5b+3a=19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 a - 10 b = - 64 } \\ { 5 b + 3 a = 19 } \end{array} \right.$$

หาค่า a, b

$$a=-2$$

$$b=5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$7a-10b=-64,3a+5b=19$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ a โดยแยก a ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$7a-10b=-64$$

เพิ่ม 10b ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$7a=10b-64$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$a=\frac{1}{7}\left(10b-64\right)$$

คูณ \frac{1}{7} ด้วย 10b-64

$$a=\frac{10}{7}b-\frac{64}{7}$$

ทดแทน \frac{10b-64}{7} สำหรับ a ในอีกสมการหนึ่ง 3a+5b=19

$$3\left(\frac{10}{7}b-\frac{64}{7}\right)+5b=19$$

คูณ 3 ด้วย \frac{10b-64}{7}

$$\frac{30}{7}b-\frac{192}{7}+5b=19$$

เพิ่ม \frac{30b}{7} ไปยัง 5b

$$\frac{65}{7}b-\frac{192}{7}=19$$

เพิ่ม \frac{192}{7} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{65}{7}b=\frac{325}{7}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{65}{7} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$b=5$$

ทดแทน 5 สำหรับ b ใน a=\frac{10}{7}b-\frac{64}{7} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$a=\frac{10}{7}\times 5-\frac{64}{7}$$

คูณ \frac{10}{7} ด้วย 5

$$a=\frac{50-64}{7}$$

เพิ่ม -\frac{64}{7} ไปยัง \frac{50}{7} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$a=-2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=-2,b=5$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$7a-10b=-64,3a+5b=19$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}&-\frac{-10}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}\\-\frac{3}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}&\frac{7}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\\-\frac{3}{65}&\frac{7}{65}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\left(-64\right)+\frac{2}{13}\times 19\\-\frac{3}{65}\left(-64\right)+\frac{7}{65}\times 19\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\5\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ a และ b

$$a=-2,b=5$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$7a-10b=-64,3a+5b=19$$

เพื่อทำให้ 7a และ 3a เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 7

$$3\times 7a+3\left(-10\right)b=3\left(-64\right),7\times 3a+7\times 5b=7\times 19$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$21a-30b=-192,21a+35b=133$$

ลบ 21a+35b=133 จาก 21a-30b=-192 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$21a-21a-30b-35b=-192-133$$

เพิ่ม 21a ไปยัง -21a ตัดพจน์ 21a และ -21a ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-30b-35b=-192-133$$

เพิ่ม -30b ไปยัง -35b

$$-65b=-192-133$$

เพิ่ม -192 ไปยัง -133

$$-65b=-325$$

หารทั้งสองข้างด้วย -65

$$b=5$$

ทดแทน 5 สำหรับ b ใน 3a+5b=19 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$3a+5\times 5=19$$

คูณ 5 ด้วย 5

$$3a+25=19$$

ลบ 25 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3a=-6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$a=-2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=-2,b=5$$