แก้โจทย์ {l}{6x-y=5}{4x-y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - y = 5 } \\ { 4 x - y = 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=2$$

$$y=7$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$6x-y=5,4x-y=1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x-y=5$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$6x=y+5$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$x=\frac{1}{6}\left(y+5\right)$$

คูณ \frac{1}{6} ด้วย y+5

$$x=\frac{1}{6}y+\frac{5}{6}$$

ทดแทน \frac{5+y}{6} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 4x-y=1

$$4\left(\frac{1}{6}y+\frac{5}{6}\right)-y=1$$

คูณ 4 ด้วย \frac{5+y}{6}

$$\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}-y=1$$

เพิ่ม \frac{2y}{3} ไปยัง -y

$$-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}=1$$

ลบ \frac{10}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{7}{3}$$

คูณทั้งสองข้างด้วย -3

$$y=7$$

ทดแทน 7 สำหรับ y ใน x=\frac{1}{6}y+\frac{5}{6} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{1}{6}\times 7+\frac{5}{6}$$

คูณ \frac{1}{6} ด้วย 7

$$x=\frac{7+5}{6}$$

เพิ่ม \frac{5}{6} ไปยัง \frac{7}{6} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=2,y=7$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$6x-y=5,4x-y=1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}6&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}6&-1\\4&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6\left(-1\right)-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{6\left(-1\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{6\left(-1\right)-\left(-4\right)}&\frac{6}{6\left(-1\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5-\frac{1}{2}\\2\times 5-3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=2,y=7$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$6x-y=5,4x-y=1$$

ลบ 4x-y=1 จาก 6x-y=5 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x-4x-y+y=5-1$$

เพิ่ม -y ไปยัง y ตัดพจน์ -y และ y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$6x-4x=5-1$$

เพิ่ม 6x ไปยัง -4x

$$2x=5-1$$

เพิ่ม 5 ไปยัง -1

$$2x=4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ x ใน 4x-y=1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$4\times 2-y=1$$

คูณ 4 ด้วย 2

$$8-y=1$$

ลบ 8 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-y=-7$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$y=7$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=2,y=7$$