แก้โจทย์ {l}{6x-5y=3}{3x+2y=12}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 5 y = 3 } \\ { 3 x + 2 y = 12 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{22}{9} = 2\frac{4}{9} \approx 2.444444444$$

$$y = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$6x-5y=3,3x+2y=12$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x-5y=3$$

เพิ่ม 5y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$6x=5y+3$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$x=\frac{1}{6}\left(5y+3\right)$$

คูณ \frac{1}{6} ด้วย 5y+3

$$x=\frac{5}{6}y+\frac{1}{2}$$

ทดแทน \frac{5y}{6}+\frac{1}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x+2y=12

$$3\left(\frac{5}{6}y+\frac{1}{2}\right)+2y=12$$

คูณ 3 ด้วย \frac{5y}{6}+\frac{1}{2}

$$\frac{5}{2}y+\frac{3}{2}+2y=12$$

เพิ่ม \frac{5y}{2} ไปยัง 2y

$$\frac{9}{2}y+\frac{3}{2}=12$$

ลบ \frac{3}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{9}{2}y=\frac{21}{2}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{9}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{7}{3}$$

ทดแทน \frac{7}{3} สำหรับ y ใน x=\frac{5}{6}y+\frac{1}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{5}{6}\times \frac{7}{3}+\frac{1}{2}$$

คูณ \frac{5}{6} ครั้ง \frac{7}{3} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{35}{18}+\frac{1}{2}$$

เพิ่ม \frac{1}{2} ไปยัง \frac{35}{18} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{22}{9}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{22}{9},y=\frac{7}{3}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$6x-5y=3,3x+2y=12$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{6\times 2-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{6\times 2-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{6\times 2-\left(-5\times 3\right)}&\frac{6}{6\times 2-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}&\frac{5}{27}\\-\frac{1}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\times 3+\frac{5}{27}\times 12\\-\frac{1}{9}\times 3+\frac{2}{9}\times 12\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{9}\\\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{22}{9},y=\frac{7}{3}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$6x-5y=3,3x+2y=12$$

เพื่อทำให้ 6x และ 3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 6

$$3\times 6x+3\left(-5\right)y=3\times 3,6\times 3x+6\times 2y=6\times 12$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$18x-15y=9,18x+12y=72$$

ลบ 18x+12y=72 จาก 18x-15y=9 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$18x-18x-15y-12y=9-72$$

เพิ่ม 18x ไปยัง -18x ตัดพจน์ 18x และ -18x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-15y-12y=9-72$$

เพิ่ม -15y ไปยัง -12y

$$-27y=9-72$$

เพิ่ม 9 ไปยัง -72

$$-27y=-63$$

หารทั้งสองข้างด้วย -27

$$y=\frac{7}{3}$$

ทดแทน \frac{7}{3} สำหรับ y ใน 3x+2y=12 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x+2\times \frac{7}{3}=12$$

คูณ 2 ด้วย \frac{7}{3}

$$3x+\frac{14}{3}=12$$

ลบ \frac{14}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=\frac{22}{3}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{22}{9}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{22}{9},y=\frac{7}{3}$$