แก้โจทย์ {l}{6x-18y=-85}{24x-5y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 18 y = - 85 } \\ { 24 x - 5 y = - 5 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y=5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x-18y=-85$$

เพิ่ม 18y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$6x=18y-85$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$x=\frac{1}{6}\left(18y-85\right)$$

คูณ \frac{1}{6} ด้วย 18y-85

$$x=3y-\frac{85}{6}$$

ทดแทน 3y-\frac{85}{6} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 24x-5y=-5

$$24\left(3y-\frac{85}{6}\right)-5y=-5$$

คูณ 24 ด้วย 3y-\frac{85}{6}

$$72y-340-5y=-5$$

เพิ่ม 72y ไปยัง -5y

$$67y-340=-5$$

เพิ่ม 340 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$67y=335$$

หารทั้งสองข้างด้วย 67

$$y=5$$

ทดแทน 5 สำหรับ y ใน x=3y-\frac{85}{6} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=3\times 5-\frac{85}{6}$$

คูณ 3 ด้วย 5

$$x=15-\frac{85}{6}$$

เพิ่ม -\frac{85}{6} ไปยัง 15

$$x=\frac{5}{6}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{5}{6},y=5$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}&-\frac{-18}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}\\-\frac{24}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}&\frac{6}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{402}&\frac{3}{67}\\-\frac{4}{67}&\frac{1}{67}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{402}\left(-85\right)+\frac{3}{67}\left(-5\right)\\-\frac{4}{67}\left(-85\right)+\frac{1}{67}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\5\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{5}{6},y=5$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

เพื่อทำให้ 6x และ 24x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 24 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 6

$$24\times 6x+24\left(-18\right)y=24\left(-85\right),6\times 24x+6\left(-5\right)y=6\left(-5\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$144x-432y=-2040,144x-30y=-30$$

ลบ 144x-30y=-30 จาก 144x-432y=-2040 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$144x-144x-432y+30y=-2040+30$$

เพิ่ม 144x ไปยัง -144x ตัดพจน์ 144x และ -144x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-432y+30y=-2040+30$$

เพิ่ม -432y ไปยัง 30y

$$-402y=-2040+30$$

เพิ่ม -2040 ไปยัง 30

$$-402y=-2010$$

หารทั้งสองข้างด้วย -402

$$y=5$$

ทดแทน 5 สำหรับ y ใน 24x-5y=-5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$24x-5\times 5=-5$$

คูณ -5 ด้วย 5

$$24x-25=-5$$

เพิ่ม 25 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$24x=20$$

หารทั้งสองข้างด้วย 24

$$x=\frac{5}{6}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{5}{6},y=5$$