แก้โจทย์ {l}{6x+3y=60}{2x+5y=800}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 3 y = 60 } \\ { 2 x + 5 y = 800 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = -\frac{175}{2} = -87\frac{1}{2} = -87.5$$

$$y=195$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$6x+3y=60,2x+5y=800$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x+3y=60$$

ลบ 3y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$6x=-3y+60$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y+60\right)$$

คูณ \frac{1}{6} ด้วย -3y+60

$$x=-\frac{1}{2}y+10$$

ทดแทน -\frac{y}{2}+10 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x+5y=800

$$2\left(-\frac{1}{2}y+10\right)+5y=800$$

คูณ 2 ด้วย -\frac{y}{2}+10

$$-y+20+5y=800$$

เพิ่ม -y ไปยัง 5y

$$4y+20=800$$

ลบ 20 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4y=780$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$y=195$$

ทดแทน 195 สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{2}y+10 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{2}\times 195+10$$

คูณ -\frac{1}{2} ด้วย 195

$$x=-\frac{195}{2}+10$$

เพิ่ม 10 ไปยัง -\frac{195}{2}

$$x=-\frac{175}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{175}{2},y=195$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$6x+3y=60,2x+5y=800$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}6&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\800\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}6&3\\2&5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\800\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\800\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\800\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6\times 5-3\times 2}&-\frac{3}{6\times 5-3\times 2}\\-\frac{2}{6\times 5-3\times 2}&\frac{6}{6\times 5-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\800\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{12}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\800\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}\times 60-\frac{1}{8}\times 800\\-\frac{1}{12}\times 60+\frac{1}{4}\times 800\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{175}{2}\\195\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{175}{2},y=195$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$6x+3y=60,2x+5y=800$$

เพื่อทำให้ 6x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 6

$$2\times 6x+2\times 3y=2\times 60,6\times 2x+6\times 5y=6\times 800$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$12x+6y=120,12x+30y=4800$$

ลบ 12x+30y=4800 จาก 12x+6y=120 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$12x-12x+6y-30y=120-4800$$

เพิ่ม 12x ไปยัง -12x ตัดพจน์ 12x และ -12x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$6y-30y=120-4800$$

เพิ่ม 6y ไปยัง -30y

$$-24y=120-4800$$

เพิ่ม 120 ไปยัง -4800

$$-24y=-4680$$

หารทั้งสองข้างด้วย -24

$$y=195$$

ทดแทน 195 สำหรับ y ใน 2x+5y=800 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x+5\times 195=800$$

คูณ 5 ด้วย 195

$$2x+975=800$$

ลบ 975 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-175$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=-\frac{175}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{175}{2},y=195$$