แก้โจทย์ {l}{6x+15y=360}{8x+10y=440}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 15 y = 360 } \\ { 8 x + 10 y = 440 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=50$$

$$y=4$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x+15y=360$$

ลบ 15y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$6x=-15y+360$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$x=\frac{1}{6}\left(-15y+360\right)$$

คูณ \frac{1}{6} ด้วย -15y+360

$$x=-\frac{5}{2}y+60$$

ทดแทน -\frac{5y}{2}+60 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 8x+10y=440

$$8\left(-\frac{5}{2}y+60\right)+10y=440$$

คูณ 8 ด้วย -\frac{5y}{2}+60

$$-20y+480+10y=440$$

เพิ่ม -20y ไปยัง 10y

$$-10y+480=440$$

ลบ 480 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-10y=-40$$

หารทั้งสองข้างด้วย -10

$$y=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ y ใน x=-\frac{5}{2}y+60 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{5}{2}\times 4+60$$

คูณ -\frac{5}{2} ด้วย 4

$$x=-10+60$$

เพิ่ม 60 ไปยัง -10

$$x=50$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=50,y=4$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{6\times 10-15\times 8}&-\frac{15}{6\times 10-15\times 8}\\-\frac{8}{6\times 10-15\times 8}&\frac{6}{6\times 10-15\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 360+\frac{1}{4}\times 440\\\frac{2}{15}\times 360-\frac{1}{10}\times 440\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\4\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=50,y=4$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

เพื่อทำให้ 6x และ 8x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 8 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 6

$$8\times 6x+8\times 15y=8\times 360,6\times 8x+6\times 10y=6\times 440$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$48x+120y=2880,48x+60y=2640$$

ลบ 48x+60y=2640 จาก 48x+120y=2880 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$48x-48x+120y-60y=2880-2640$$

เพิ่ม 48x ไปยัง -48x ตัดพจน์ 48x และ -48x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$120y-60y=2880-2640$$

เพิ่ม 120y ไปยัง -60y

$$60y=2880-2640$$

เพิ่ม 2880 ไปยัง -2640

$$60y=240$$

หารทั้งสองข้างด้วย 60

$$y=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ y ใน 8x+10y=440 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$8x+10\times 4=440$$

คูณ 10 ด้วย 4

$$8x+40=440$$

ลบ 40 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$8x=400$$

หารทั้งสองข้างด้วย 8

$$x=50$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=50,y=4$$