แก้โจทย์ {l}{6u+4v=5}{9u-8v=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 u + 4 v = 5 } \\ { 9 u - 8 v = 4 } \end{array} \right.$$

หาค่า u, v

$$u=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$v=\frac{1}{4}=0.25$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ u โดยแยก u ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6u+4v=5$$

ลบ 4v จากทั้งสองข้างของสมการ

$$6u=-4v+5$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$u=\frac{1}{6}\left(-4v+5\right)$$

คูณ \frac{1}{6} ด้วย -4v+5

$$u=-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}$$

ทดแทน -\frac{2v}{3}+\frac{5}{6} สำหรับ u ในอีกสมการหนึ่ง 9u-8v=4

$$9\left(-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}\right)-8v=4$$

คูณ 9 ด้วย -\frac{2v}{3}+\frac{5}{6}

$$-6v+\frac{15}{2}-8v=4$$

เพิ่ม -6v ไปยัง -8v

$$-14v+\frac{15}{2}=4$$

ลบ \frac{15}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-14v=-\frac{7}{2}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -14

$$v=\frac{1}{4}$$

ทดแทน \frac{1}{4} สำหรับ v ใน u=-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า u โดยตรงได้

$$u=-\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}+\frac{5}{6}$$

คูณ -\frac{2}{3} ครั้ง \frac{1}{4} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$u=\frac{-1+5}{6}$$

เพิ่ม \frac{5}{6} ไปยัง -\frac{1}{6} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$u=\frac{2}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{6\left(-8\right)-4\times 9}&-\frac{4}{6\left(-8\right)-4\times 9}\\-\frac{9}{6\left(-8\right)-4\times 9}&\frac{6}{6\left(-8\right)-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}&\frac{1}{21}\\\frac{3}{28}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}\times 5+\frac{1}{21}\times 4\\\frac{3}{28}\times 5-\frac{1}{14}\times 4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ u และ v

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

เพื่อทำให้ 6u และ 9u เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 9 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 6

$$9\times 6u+9\times 4v=9\times 5,6\times 9u+6\left(-8\right)v=6\times 4$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$54u+36v=45,54u-48v=24$$

ลบ 54u-48v=24 จาก 54u+36v=45 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$54u-54u+36v+48v=45-24$$

เพิ่ม 54u ไปยัง -54u ตัดพจน์ 54u และ -54u ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$36v+48v=45-24$$

เพิ่ม 36v ไปยัง 48v

$$84v=45-24$$

เพิ่ม 45 ไปยัง -24

$$84v=21$$

หารทั้งสองข้างด้วย 84

$$v=\frac{1}{4}$$

ทดแทน \frac{1}{4} สำหรับ v ใน 9u-8v=4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า u โดยตรงได้

$$9u-8\times \frac{1}{4}=4$$

คูณ -8 ด้วย \frac{1}{4}

$$9u-2=4$$

เพิ่ม 2 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$9u=6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 9

$$u=\frac{2}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$