แก้โจทย์ {l}{6+2a+b=0}{24-4a+b=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 + 2 a + b = 0 } \\ { 24 - 4 a + b = 0 } \end{array} \right.$$

หาค่า a, b

$$a=3$$

$$b=-12$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2a+b+6=0,-4a+b+24=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ a โดยแยก a ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2a+b+6=0$$

ลบ 6 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2a+b=-6$$

ลบ b จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2a=-b-6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$a=\frac{1}{2}\left(-b-6\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -b-6

$$a=-\frac{1}{2}b-3$$

ทดแทน -\frac{b}{2}-3 สำหรับ a ในอีกสมการหนึ่ง -4a+b+24=0

$$-4\left(-\frac{1}{2}b-3\right)+b+24=0$$

คูณ -4 ด้วย -\frac{b}{2}-3

$$2b+12+b+24=0$$

เพิ่ม 2b ไปยัง b

$$3b+12+24=0$$

เพิ่ม 12 ไปยัง 24

$$3b+36=0$$

ลบ 36 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3b=-36$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$b=-12$$

ทดแทน -12 สำหรับ b ใน a=-\frac{1}{2}b-3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$a=-\frac{1}{2}\left(-12\right)-3$$

คูณ -\frac{1}{2} ด้วย -12

$$a=6-3$$

เพิ่ม -3 ไปยัง 6

$$a=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=3,b=-12$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2a+b+6=0,-4a+b+24=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-4\right)}&-\frac{1}{2-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{2-\left(-4\right)}&\frac{2}{2-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\left(-6\right)-\frac{1}{6}\left(-24\right)\\\frac{2}{3}\left(-6\right)+\frac{1}{3}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-12\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ a และ b

$$a=3,b=-12$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2a+b+6=0,-4a+b+24=0$$

ลบ -4a+b+24=0 จาก 2a+b+6=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2a+4a+b-b+6-24=0$$

เพิ่ม b ไปยัง -b ตัดพจน์ b และ -b ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$2a+4a+6-24=0$$

เพิ่ม 2a ไปยัง 4a

$$6a+6-24=0$$

เพิ่ม 6 ไปยัง -24

$$6a-18=0$$

เพิ่ม 18 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$6a=18$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$a=3$$

ทดแทน 3 สำหรับ a ใน -4a+b+24=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า b โดยตรงได้

$$-4\times 3+b+24=0$$

คูณ -4 ด้วย 3

$$-12+b+24=0$$

เพิ่ม -12 ไปยัง 24

$$b+12=0$$

ลบ 12 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$b=-12$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=3,b=-12$$