แก้โจทย์ {l}{50x+y=200}{60x+y=260}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 50 x + y = 200 } \\ { 60 x + y = 260 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=6$$

$$y=-100$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$50x+y=200,60x+y=260$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$50x+y=200$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$50x=-y+200$$

หารทั้งสองข้างด้วย 50

$$x=\frac{1}{50}\left(-y+200\right)$$

คูณ \frac{1}{50} ด้วย -y+200

$$x=-\frac{1}{50}y+4$$

ทดแทน -\frac{y}{50}+4 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 60x+y=260

$$60\left(-\frac{1}{50}y+4\right)+y=260$$

คูณ 60 ด้วย -\frac{y}{50}+4

$$-\frac{6}{5}y+240+y=260$$

เพิ่ม -\frac{6y}{5} ไปยัง y

$$-\frac{1}{5}y+240=260$$

ลบ 240 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{1}{5}y=20$$

คูณทั้งสองข้างด้วย -5

$$y=-100$$

ทดแทน -100 สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{50}y+4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{50}\left(-100\right)+4$$

คูณ -\frac{1}{50} ด้วย -100

$$x=2+4$$

เพิ่ม 4 ไปยัง 2

$$x=6$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=6,y=-100$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$50x+y=200,60x+y=260$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{50-60}&-\frac{1}{50-60}\\-\frac{60}{50-60}&\frac{50}{50-60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 200+\frac{1}{10}\times 260\\6\times 200-5\times 260\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-100\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=6,y=-100$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$50x+y=200,60x+y=260$$

ลบ 60x+y=260 จาก 50x+y=200 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$50x-60x+y-y=200-260$$

เพิ่ม y ไปยัง -y ตัดพจน์ y และ -y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$50x-60x=200-260$$

เพิ่ม 50x ไปยัง -60x

$$-10x=200-260$$

เพิ่ม 200 ไปยัง -260

$$-10x=-60$$

หารทั้งสองข้างด้วย -10

$$x=6$$

ทดแทน 6 สำหรับ x ใน 60x+y=260 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$60\times 6+y=260$$

คูณ 60 ด้วย 6

$$360+y=260$$

ลบ 360 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=-100$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=6,y=-100$$