แก้โจทย์ {l}{50*2.4x+25*2.4y=660}{(50-20)*2.4x+(25+20)*2.4y=540}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 50 \times 2.4 x + 25 \times 2.4 y = 660 } \\ { ( 50 - 20 ) \times 2.4 x + ( 25 + 20 ) \times 2.4 y = 540 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=4.5$$

$$y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$120x+60y=660,72x+108y=540$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$120x+60y=660$$

ลบ 60y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$120x=-60y+660$$

หารทั้งสองข้างด้วย 120

$$x=\frac{1}{120}\left(-60y+660\right)$$

คูณ \frac{1}{120} ด้วย -60y+660

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}$$

ทดแทน \frac{-y+11}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 72x+108y=540

$$72\left(-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}\right)+108y=540$$

คูณ 72 ด้วย \frac{-y+11}{2}

$$-36y+396+108y=540$$

เพิ่ม -36y ไปยัง 108y

$$72y+396=540$$

ลบ 396 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$72y=144$$

หารทั้งสองข้างด้วย 72

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{2}\times 2+\frac{11}{2}$$

คูณ -\frac{1}{2} ด้วย 2

$$x=-1+\frac{11}{2}$$

เพิ่ม \frac{11}{2} ไปยัง -1

$$x=\frac{9}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{9}{2},y=2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$120x+60y=660,72x+108y=540$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}120&60\\72&108\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}660\\540\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}120&60\\72&108\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}120&60\\72&108\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}120&60\\72&108\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}120&60\\72&108\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}660\\540\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}120&60\\72&108\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}660\\540\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}120&60\\72&108\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}660\\540\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{108}{120\times 108-60\times 72}&-\frac{60}{120\times 108-60\times 72}\\-\frac{72}{120\times 108-60\times 72}&\frac{120}{120\times 108-60\times 72}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}660\\540\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{80}&-\frac{1}{144}\\-\frac{1}{120}&\frac{1}{72}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}660\\540\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{80}\times 660-\frac{1}{144}\times 540\\-\frac{1}{120}\times 660+\frac{1}{72}\times 540\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{9}{2},y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$120x+60y=660,72x+108y=540$$

เพื่อทำให้ 120x และ 72x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 72 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 120

$$72\times 120x+72\times 60y=72\times 660,120\times 72x+120\times 108y=120\times 540$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$8640x+4320y=47520,8640x+12960y=64800$$

ลบ 8640x+12960y=64800 จาก 8640x+4320y=47520 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$8640x-8640x+4320y-12960y=47520-64800$$

เพิ่ม 8640x ไปยัง -8640x ตัดพจน์ 8640x และ -8640x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$4320y-12960y=47520-64800$$

เพิ่ม 4320y ไปยัง -12960y

$$-8640y=47520-64800$$

เพิ่ม 47520 ไปยัง -64800

$$-8640y=-17280$$

หารทั้งสองข้างด้วย -8640

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน 72x+108y=540 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$72x+108\times 2=540$$

คูณ 108 ด้วย 2

$$72x+216=540$$

ลบ 216 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$72x=324$$

หารทั้งสองข้างด้วย 72

$$x=\frac{9}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{9}{2},y=2$$