แก้โจทย์ {l}{5x-y=5}{y=1/5x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - y = 5 } \\ { y = \frac { 1 } { 5 } x } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{25}{24} = 1\frac{1}{24} \approx 1.041666667$$

$$y=\frac{5}{24}\approx 0.208333333$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง ลบ \frac{1}{5}x จากทั้งสองด้าน

$$y-\frac{1}{5}x=0$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x-y=5,-\frac{1}{5}x+y=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x-y=5$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=y+5$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(y+5\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย y+5

$$x=\frac{1}{5}y+1$$

ทดแทน \frac{y}{5}+1 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -\frac{1}{5}x+y=0

$$-\frac{1}{5}\left(\frac{1}{5}y+1\right)+y=0$$

คูณ -\frac{1}{5} ด้วย \frac{y}{5}+1

$$-\frac{1}{25}y-\frac{1}{5}+y=0$$

เพิ่ม -\frac{y}{25} ไปยัง y

$$\frac{24}{25}y-\frac{1}{5}=0$$

เพิ่ม \frac{1}{5} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{24}{25}y=\frac{1}{5}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{24}{25} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{5}{24}$$

ทดแทน \frac{5}{24} สำหรับ y ใน x=\frac{1}{5}y+1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{1}{5}\times \frac{5}{24}+1$$

คูณ \frac{1}{5} ครั้ง \frac{5}{24} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{1}{24}+1$$

เพิ่ม 1 ไปยัง \frac{1}{24}

$$x=\frac{25}{24}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{25}{24},y=\frac{5}{24}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง ลบ \frac{1}{5}x จากทั้งสองด้าน

$$y-\frac{1}{5}x=0$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x-y=5,-\frac{1}{5}x+y=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}&-\frac{-1}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{5}}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}&\frac{5}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}&\frac{5}{24}\\\frac{1}{24}&\frac{25}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}\times 5\\\frac{1}{24}\times 5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{24}\\\frac{5}{24}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{25}{24},y=\frac{5}{24}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง ลบ \frac{1}{5}x จากทั้งสองด้าน

$$y-\frac{1}{5}x=0$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x-y=5,-\frac{1}{5}x+y=0$$

เพื่อทำให้ 5x และ -\frac{x}{5} เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -\frac{1}{5} และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$-\frac{1}{5}\times 5x-\frac{1}{5}\left(-1\right)y=-\frac{1}{5}\times 5,5\left(-\frac{1}{5}\right)x+5y=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-x+\frac{1}{5}y=-1,-x+5y=0$$

ลบ -x+5y=0 จาก -x+\frac{1}{5}y=-1 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-x+x+\frac{1}{5}y-5y=-1$$

เพิ่ม -x ไปยัง x ตัดพจน์ -x และ x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$\frac{1}{5}y-5y=-1$$

เพิ่ม \frac{y}{5} ไปยัง -5y

$$-\frac{24}{5}y=-1$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{24}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{5}{24}$$

ทดแทน \frac{5}{24} สำหรับ y ใน -\frac{1}{5}x+y=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-\frac{1}{5}x+\frac{5}{24}=0$$

ลบ \frac{5}{24} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{1}{5}x=-\frac{5}{24}$$

คูณทั้งสองข้างด้วย -5

$$x=\frac{25}{24}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{25}{24},y=\frac{5}{24}$$