แก้โจทย์ {l}{5x-y=110}{9y-x=110}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - y = 110 } \\ { 9 y - x = 110 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=25$$

$$y=15$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x-y=110,-x+9y=110$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x-y=110$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=y+110$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(y+110\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย y+110

$$x=\frac{1}{5}y+22$$

ทดแทน \frac{y}{5}+22 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -x+9y=110

$$-\left(\frac{1}{5}y+22\right)+9y=110$$

คูณ -1 ด้วย \frac{y}{5}+22

$$-\frac{1}{5}y-22+9y=110$$

เพิ่ม -\frac{y}{5} ไปยัง 9y

$$\frac{44}{5}y-22=110$$

เพิ่ม 22 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{44}{5}y=132$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{44}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=15$$

ทดแทน 15 สำหรับ y ใน x=\frac{1}{5}y+22 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{1}{5}\times 15+22$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย 15

$$x=3+22$$

เพิ่ม 22 ไปยัง 3

$$x=25$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=25,y=15$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x-y=110,-x+9y=110$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{5}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{44}&\frac{1}{44}\\\frac{1}{44}&\frac{5}{44}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{44}\times 110+\frac{1}{44}\times 110\\\frac{1}{44}\times 110+\frac{5}{44}\times 110\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=25,y=15$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x-y=110,-x+9y=110$$

เพื่อทำให้ 5x และ -x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$-5x-\left(-y\right)=-110,5\left(-1\right)x+5\times 9y=5\times 110$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-5x+y=-110,-5x+45y=550$$

ลบ -5x+45y=550 จาก -5x+y=-110 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-5x+5x+y-45y=-110-550$$

เพิ่ม -5x ไปยัง 5x ตัดพจน์ -5x และ 5x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$y-45y=-110-550$$

เพิ่ม y ไปยัง -45y

$$-44y=-110-550$$

เพิ่ม -110 ไปยัง -550

$$-44y=-660$$

หารทั้งสองข้างด้วย -44

$$y=15$$

ทดแทน 15 สำหรับ y ใน -x+9y=110 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-x+9\times 15=110$$

คูณ 9 ด้วย 15

$$-x+135=110$$

ลบ 135 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-x=-25$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$x=25$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=25,y=15$$