แก้โจทย์ {l}{5x-6y=-3}{5x-3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 6 y = - 3 } \\ { 5 x - 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

$$y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x-6y=-3,5x-3y=3$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x-6y=-3$$

เพิ่ม 6y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=6y-3$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(6y-3\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย 6y-3

$$x=\frac{6}{5}y-\frac{3}{5}$$

ทดแทน \frac{6y-3}{5} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 5x-3y=3

$$5\left(\frac{6}{5}y-\frac{3}{5}\right)-3y=3$$

คูณ 5 ด้วย \frac{6y-3}{5}

$$6y-3-3y=3$$

เพิ่ม 6y ไปยัง -3y

$$3y-3=3$$

เพิ่ม 3 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3y=6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน x=\frac{6}{5}y-\frac{3}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{6}{5}\times 2-\frac{3}{5}$$

คูณ \frac{6}{5} ด้วย 2

$$x=\frac{12-3}{5}$$

เพิ่ม -\frac{3}{5} ไปยัง \frac{12}{5} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{9}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{9}{5},y=2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x-6y=-3,5x-3y=3$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 5\right)}&-\frac{-6}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 5\right)}\\-\frac{5}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 5\right)}&\frac{5}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\left(-3\right)+\frac{2}{5}\times 3\\-\frac{1}{3}\left(-3\right)+\frac{1}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{9}{5},y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x-6y=-3,5x-3y=3$$

ลบ 5x-3y=3 จาก 5x-6y=-3 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x-5x-6y+3y=-3-3$$

เพิ่ม 5x ไปยัง -5x ตัดพจน์ 5x และ -5x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-6y+3y=-3-3$$

เพิ่ม -6y ไปยัง 3y

$$-3y=-3-3$$

เพิ่ม -3 ไปยัง -3

$$-3y=-6$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน 5x-3y=3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$5x-3\times 2=3$$

คูณ -3 ด้วย 2

$$5x-6=3$$

เพิ่ม 6 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=9$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{9}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{9}{5},y=2$$