แก้โจทย์ {l}{5x-4y=19y}{5x+2y=71}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 19 y } \\ { 5 x + 2 y = 71 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{1633}{125} = 13\frac{8}{125} = 13.064$$

$$y = \frac{71}{25} = 2\frac{21}{25} = 2.84$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 19y จากทั้งสองด้าน

$$5x-4y-19y=0$$

รวม -4y และ -19y เพื่อให้ได้รับ -23y

$$5x-23y=0$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x-23y=0$$

เพิ่ม 23y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=23y$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\times 23y$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย 23y

$$x=\frac{23}{5}y$$

ทดแทน \frac{23y}{5} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 5x+2y=71

$$5\times \frac{23}{5}y+2y=71$$

คูณ 5 ด้วย \frac{23y}{5}

$$23y+2y=71$$

เพิ่ม 23y ไปยัง 2y

$$25y=71$$

หารทั้งสองข้างด้วย 25

$$y=\frac{71}{25}$$

ทดแทน \frac{71}{25} สำหรับ y ใน x=\frac{23}{5}y เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{23}{5}\times \frac{71}{25}$$

คูณ \frac{23}{5} ครั้ง \frac{71}{25} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{1633}{125}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 19y จากทั้งสองด้าน

$$5x-4y-19y=0$$

รวม -4y และ -19y เพื่อให้ได้รับ -23y

$$5x-23y=0$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}&-\frac{-23}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}\\-\frac{5}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{125}&\frac{23}{125}\\-\frac{1}{25}&\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{125}\times 71\\\frac{1}{25}\times 71\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1633}{125}\\\frac{71}{25}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 19y จากทั้งสองด้าน

$$5x-4y-19y=0$$

รวม -4y และ -19y เพื่อให้ได้รับ -23y

$$5x-23y=0$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

ลบ 5x+2y=71 จาก 5x-23y=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x-5x-23y-2y=-71$$

เพิ่ม 5x ไปยัง -5x ตัดพจน์ 5x และ -5x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-23y-2y=-71$$

เพิ่ม -23y ไปยัง -2y

$$-25y=-71$$

หารทั้งสองข้างด้วย -25

$$y=\frac{71}{25}$$

ทดแทน \frac{71}{25} สำหรับ y ใน 5x+2y=71 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$5x+2\times \frac{71}{25}=71$$

คูณ 2 ด้วย \frac{71}{25}

$$5x+\frac{142}{25}=71$$

ลบ \frac{142}{25} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=\frac{1633}{25}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1633}{125}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$