แก้โจทย์ {l}{5x-4y=-3}{3x-4y=-13}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = - 3 } \\ { 3 x - 4 y = - 13 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=5$$

$$y=7$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x-4y=-3,3x-4y=-13$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x-4y=-3$$

เพิ่ม 4y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=4y-3$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-3\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย 4y-3

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}$$

ทดแทน \frac{4y-3}{5} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x-4y=-13

$$3\left(\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}\right)-4y=-13$$

คูณ 3 ด้วย \frac{4y-3}{5}

$$\frac{12}{5}y-\frac{9}{5}-4y=-13$$

เพิ่ม \frac{12y}{5} ไปยัง -4y

$$-\frac{8}{5}y-\frac{9}{5}=-13$$

เพิ่ม \frac{9}{5} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{8}{5}y=-\frac{56}{5}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{8}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=7$$

ทดแทน 7 สำหรับ y ใน x=\frac{4}{5}y-\frac{3}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{4}{5}\times 7-\frac{3}{5}$$

คูณ \frac{4}{5} ด้วย 7

$$x=\frac{28-3}{5}$$

เพิ่ม -\frac{3}{5} ไปยัง \frac{28}{5} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=5$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=5,y=7$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x-4y=-3,3x-4y=-13$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}&\frac{5}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{3}{8}&-\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-3\right)-\frac{1}{2}\left(-13\right)\\\frac{3}{8}\left(-3\right)-\frac{5}{8}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=5,y=7$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x-4y=-3,3x-4y=-13$$

ลบ 3x-4y=-13 จาก 5x-4y=-3 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x-3x-4y+4y=-3+13$$

เพิ่ม -4y ไปยัง 4y ตัดพจน์ -4y และ 4y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$5x-3x=-3+13$$

เพิ่ม 5x ไปยัง -3x

$$2x=-3+13$$

เพิ่ม -3 ไปยัง 13

$$2x=10$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=5$$

ทดแทน 5 สำหรับ x ใน 3x-4y=-13 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$3\times 5-4y=-13$$

คูณ 3 ด้วย 5

$$15-4y=-13$$

ลบ 15 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-4y=-28$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$y=7$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=5,y=7$$