แก้โจทย์ {l}{5x-3y=28}{12x+4y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 28 } \\ { 12 x + 4 y = 0 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=2$$

$$y=-6$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x-3y=28,12x+4y=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x-3y=28$$

เพิ่ม 3y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=3y+28$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+28\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย 3y+28

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{28}{5}$$

ทดแทน \frac{3y+28}{5} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 12x+4y=0

$$12\left(\frac{3}{5}y+\frac{28}{5}\right)+4y=0$$

คูณ 12 ด้วย \frac{3y+28}{5}

$$\frac{36}{5}y+\frac{336}{5}+4y=0$$

เพิ่ม \frac{36y}{5} ไปยัง 4y

$$\frac{56}{5}y+\frac{336}{5}=0$$

ลบ \frac{336}{5} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{56}{5}y=-\frac{336}{5}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{56}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-6$$

ทดแทน -6 สำหรับ y ใน x=\frac{3}{5}y+\frac{28}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{3}{5}\left(-6\right)+\frac{28}{5}$$

คูณ \frac{3}{5} ด้วย -6

$$x=\frac{-18+28}{5}$$

เพิ่ม \frac{28}{5} ไปยัง -\frac{18}{5} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=2,y=-6$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x-3y=28,12x+4y=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-\left(-3\times 12\right)}&-\frac{-3}{5\times 4-\left(-3\times 12\right)}\\-\frac{12}{5\times 4-\left(-3\times 12\right)}&\frac{5}{5\times 4-\left(-3\times 12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{56}\\-\frac{3}{14}&\frac{5}{56}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 28\\-\frac{3}{14}\times 28\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-6\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=2,y=-6$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x-3y=28,12x+4y=0$$

เพื่อทำให้ 5x และ 12x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 12 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$12\times 5x+12\left(-3\right)y=12\times 28,5\times 12x+5\times 4y=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$60x-36y=336,60x+20y=0$$

ลบ 60x+20y=0 จาก 60x-36y=336 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$60x-60x-36y-20y=336$$

เพิ่ม 60x ไปยัง -60x ตัดพจน์ 60x และ -60x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-36y-20y=336$$

เพิ่ม -36y ไปยัง -20y

$$-56y=336$$

หารทั้งสองข้างด้วย -56

$$y=-6$$

ทดแทน -6 สำหรับ y ใน 12x+4y=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$12x+4\left(-6\right)=0$$

คูณ 4 ด้วย -6

$$12x-24=0$$

เพิ่ม 24 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$12x=24$$

หารทั้งสองข้างด้วย 12

$$x=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=2,y=-6$$