แก้โจทย์ {l}{5x+y=7}{3x-y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + y = 7 } \\ { 3 x - y = 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x+y=7,3x-y=1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x+y=7$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=-y+7$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+7\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย -y+7

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{7}{5}$$

ทดแทน \frac{-y+7}{5} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x-y=1

$$3\left(-\frac{1}{5}y+\frac{7}{5}\right)-y=1$$

คูณ 3 ด้วย \frac{-y+7}{5}

$$-\frac{3}{5}y+\frac{21}{5}-y=1$$

เพิ่ม -\frac{3y}{5} ไปยัง -y

$$-\frac{8}{5}y+\frac{21}{5}=1$$

ลบ \frac{21}{5} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{8}{5}y=-\frac{16}{5}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{8}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{5}y+\frac{7}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{5}\times 2+\frac{7}{5}$$

คูณ -\frac{1}{5} ด้วย 2

$$x=\frac{-2+7}{5}$$

เพิ่ม \frac{7}{5} ไปยัง -\frac{2}{5} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1,y=2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x+y=7,3x-y=1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&1\\3&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-3}&-\frac{1}{5\left(-1\right)-3}\\-\frac{3}{5\left(-1\right)-3}&\frac{5}{5\left(-1\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{3}{8}&-\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 7+\frac{1}{8}\\\frac{3}{8}\times 7-\frac{5}{8}\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=1,y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x+y=7,3x-y=1$$

เพื่อทำให้ 5x และ 3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$3\times 5x+3y=3\times 7,5\times 3x+5\left(-1\right)y=5$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$15x+3y=21,15x-5y=5$$

ลบ 15x-5y=5 จาก 15x+3y=21 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$15x-15x+3y+5y=21-5$$

เพิ่ม 15x ไปยัง -15x ตัดพจน์ 15x และ -15x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$3y+5y=21-5$$

เพิ่ม 3y ไปยัง 5y

$$8y=21-5$$

เพิ่ม 21 ไปยัง -5

$$8y=16$$

หารทั้งสองข้างด้วย 8

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน 3x-y=1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x-2=1$$

เพิ่ม 2 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=3$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1,y=2$$