แก้โจทย์ {l}{5x+y=39}{3x+4y=54}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + y = 39 } \\ { 3 x + 4 y = 54 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=6$$

$$y=9$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x+y=39,3x+4y=54$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x+y=39$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=-y+39$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+39\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย -y+39

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{39}{5}$$

ทดแทน \frac{-y+39}{5} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x+4y=54

$$3\left(-\frac{1}{5}y+\frac{39}{5}\right)+4y=54$$

คูณ 3 ด้วย \frac{-y+39}{5}

$$-\frac{3}{5}y+\frac{117}{5}+4y=54$$

เพิ่ม -\frac{3y}{5} ไปยัง 4y

$$\frac{17}{5}y+\frac{117}{5}=54$$

ลบ \frac{117}{5} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{17}{5}y=\frac{153}{5}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{17}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=9$$

ทดแทน 9 สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{5}y+\frac{39}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{5}\times 9+\frac{39}{5}$$

คูณ -\frac{1}{5} ด้วย 9

$$x=\frac{-9+39}{5}$$

เพิ่ม \frac{39}{5} ไปยัง -\frac{9}{5} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=6$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=6,y=9$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x+y=39,3x+4y=54$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-3}&-\frac{1}{5\times 4-3}\\-\frac{3}{5\times 4-3}&\frac{5}{5\times 4-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}&-\frac{1}{17}\\-\frac{3}{17}&\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}\times 39-\frac{1}{17}\times 54\\-\frac{3}{17}\times 39+\frac{5}{17}\times 54\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=6,y=9$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x+y=39,3x+4y=54$$

เพื่อทำให้ 5x และ 3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$3\times 5x+3y=3\times 39,5\times 3x+5\times 4y=5\times 54$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$15x+3y=117,15x+20y=270$$

ลบ 15x+20y=270 จาก 15x+3y=117 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$15x-15x+3y-20y=117-270$$

เพิ่ม 15x ไปยัง -15x ตัดพจน์ 15x และ -15x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$3y-20y=117-270$$

เพิ่ม 3y ไปยัง -20y

$$-17y=117-270$$

เพิ่ม 117 ไปยัง -270

$$-17y=-153$$

หารทั้งสองข้างด้วย -17

$$y=9$$

ทดแทน 9 สำหรับ y ใน 3x+4y=54 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x+4\times 9=54$$

คูณ 4 ด้วย 9

$$3x+36=54$$

ลบ 36 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=18$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=6$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=6,y=9$$