แก้โจทย์ {l}{5x+y=35}{7x+1,1y=40}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + y = 35 } \\ { 7 x + 1,1 y = 40 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=1$$

$$y=30$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x+y=35,7x+1.1y=40$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x+y=35$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=-y+35$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+35\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย -y+35

$$x=-\frac{1}{5}y+7$$

ทดแทน -\frac{y}{5}+7 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 7x+1.1y=40

$$7\left(-\frac{1}{5}y+7\right)+1.1y=40$$

คูณ 7 ด้วย -\frac{y}{5}+7

$$-\frac{7}{5}y+49+1.1y=40$$

เพิ่ม -\frac{7y}{5} ไปยัง \frac{11y}{10}

$$-\frac{3}{10}y+49=40$$

ลบ 49 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{3}{10}y=-9$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{3}{10} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=30$$

ทดแทน 30 สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{5}y+7 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{5}\times 30+7$$

คูณ -\frac{1}{5} ด้วย 30

$$x=-6+7$$

เพิ่ม 7 ไปยัง -6

$$x=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1,y=30$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x+y=35,7x+1.1y=40$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1.1}{5\times 1.1-7}&-\frac{1}{5\times 1.1-7}\\-\frac{7}{5\times 1.1-7}&\frac{5}{5\times 1.1-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{15}&\frac{2}{3}\\\frac{14}{3}&-\frac{10}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{15}\times 35+\frac{2}{3}\times 40\\\frac{14}{3}\times 35-\frac{10}{3}\times 40\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\30\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=1,y=30$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x+y=35,7x+1.1y=40$$

เพื่อทำให้ 5x และ 7x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 7 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$7\times 5x+7y=7\times 35,5\times 7x+5\times 1.1y=5\times 40$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$35x+7y=245,35x+5.5y=200$$

ลบ 35x+5.5y=200 จาก 35x+7y=245 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$35x-35x+7y-5.5y=245-200$$

เพิ่ม 35x ไปยัง -35x ตัดพจน์ 35x และ -35x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$7y-5.5y=245-200$$

เพิ่ม 7y ไปยัง -\frac{11y}{2}

$$1.5y=245-200$$

เพิ่ม 245 ไปยัง -200

$$1.5y=45$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 1.5 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=30$$

ทดแทน 30 สำหรับ y ใน 7x+1.1y=40 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$7x+1.1\times 30=40$$

คูณ 1.1 ด้วย 30

$$7x+33=40$$

ลบ 33 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$7x=7$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$x=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1,y=30$$