แก้โจทย์ {l}{5x+7y=41}{5x+8y=44}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 7 y = 41 } \\ { 5 x + 8 y = 44 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=4$$

$$y=3$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x+7y=41,5x+8y=44$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x+7y=41$$

ลบ 7y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=-7y+41$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(-7y+41\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย -7y+41

$$x=-\frac{7}{5}y+\frac{41}{5}$$

ทดแทน \frac{-7y+41}{5} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 5x+8y=44

$$5\left(-\frac{7}{5}y+\frac{41}{5}\right)+8y=44$$

คูณ 5 ด้วย \frac{-7y+41}{5}

$$-7y+41+8y=44$$

เพิ่ม -7y ไปยัง 8y

$$y+41=44$$

ลบ 41 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=3$$

ทดแทน 3 สำหรับ y ใน x=-\frac{7}{5}y+\frac{41}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{7}{5}\times 3+\frac{41}{5}$$

คูณ -\frac{7}{5} ด้วย 3

$$x=\frac{-21+41}{5}$$

เพิ่ม \frac{41}{5} ไปยัง -\frac{21}{5} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=4,y=3$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x+7y=41,5x+8y=44$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&7\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}41\\44\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&7\\5&8\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&7\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\44\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\44\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\44\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5\times 8-7\times 5}&-\frac{7}{5\times 8-7\times 5}\\-\frac{5}{5\times 8-7\times 5}&\frac{5}{5\times 8-7\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\44\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}&-\frac{7}{5}\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\44\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\times 41-\frac{7}{5}\times 44\\-41+44\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=4,y=3$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x+7y=41,5x+8y=44$$

ลบ 5x+8y=44 จาก 5x+7y=41 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x-5x+7y-8y=41-44$$

เพิ่ม 5x ไปยัง -5x ตัดพจน์ 5x และ -5x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$7y-8y=41-44$$

เพิ่ม 7y ไปยัง -8y

$$-y=41-44$$

เพิ่ม 41 ไปยัง -44

$$-y=-3$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$y=3$$

ทดแทน 3 สำหรับ y ใน 5x+8y=44 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$5x+8\times 3=44$$

คูณ 8 ด้วย 3

$$5x+24=44$$

ลบ 24 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=20$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=4,y=3$$