แก้โจทย์ {l}{5x+3y=7}{3x+4y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 7 } \\ { 3 x + 4 y = 8 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{4}{11}\approx 0.363636364$$

$$y = \frac{19}{11} = 1\frac{8}{11} \approx 1.727272727$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x+3y=7,3x+4y=8$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x+3y=7$$

ลบ 3y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=-3y+7$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+7\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย -3y+7

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}$$

ทดแทน \frac{-3y+7}{5} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x+4y=8

$$3\left(-\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}\right)+4y=8$$

คูณ 3 ด้วย \frac{-3y+7}{5}

$$-\frac{9}{5}y+\frac{21}{5}+4y=8$$

เพิ่ม -\frac{9y}{5} ไปยัง 4y

$$\frac{11}{5}y+\frac{21}{5}=8$$

ลบ \frac{21}{5} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{11}{5}y=\frac{19}{5}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{11}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{19}{11}$$

ทดแทน \frac{19}{11} สำหรับ y ใน x=-\frac{3}{5}y+\frac{7}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{19}{11}+\frac{7}{5}$$

คูณ -\frac{3}{5} ครั้ง \frac{19}{11} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{57}{55}+\frac{7}{5}$$

เพิ่ม \frac{7}{5} ไปยัง -\frac{57}{55} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{4}{11}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{4}{11},y=\frac{19}{11}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x+3y=7,3x+4y=8$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-3\times 3}&-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}\\-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}&\frac{5}{5\times 4-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 7-\frac{3}{11}\times 8\\-\frac{3}{11}\times 7+\frac{5}{11}\times 8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\\\frac{19}{11}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{4}{11},y=\frac{19}{11}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x+3y=7,3x+4y=8$$

เพื่อทำให้ 5x และ 3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$3\times 5x+3\times 3y=3\times 7,5\times 3x+5\times 4y=5\times 8$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$15x+9y=21,15x+20y=40$$

ลบ 15x+20y=40 จาก 15x+9y=21 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$15x-15x+9y-20y=21-40$$

เพิ่ม 15x ไปยัง -15x ตัดพจน์ 15x และ -15x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$9y-20y=21-40$$

เพิ่ม 9y ไปยัง -20y

$$-11y=21-40$$

เพิ่ม 21 ไปยัง -40

$$-11y=-19$$

หารทั้งสองข้างด้วย -11

$$y=\frac{19}{11}$$

ทดแทน \frac{19}{11} สำหรับ y ใน 3x+4y=8 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x+4\times \frac{19}{11}=8$$

คูณ 4 ด้วย \frac{19}{11}

$$3x+\frac{76}{11}=8$$

ลบ \frac{76}{11} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=\frac{12}{11}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{4}{11}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{4}{11},y=\frac{19}{11}$$