แก้โจทย์ {l}{5x+2y=6}{2x+5y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 6 } \\ { 2 x + 5 y = 8 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x+2y=6,2x+5y=8$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x+2y=6$$

ลบ 2y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=-2y+6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+6\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย -2y+6

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5}$$

ทดแทน \frac{-2y+6}{5} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x+5y=8

$$2\left(-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5}\right)+5y=8$$

คูณ 2 ด้วย \frac{-2y+6}{5}

$$-\frac{4}{5}y+\frac{12}{5}+5y=8$$

เพิ่ม -\frac{4y}{5} ไปยัง 5y

$$\frac{21}{5}y+\frac{12}{5}=8$$

ลบ \frac{12}{5} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{21}{5}y=\frac{28}{5}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{21}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{4}{3}$$

ทดแทน \frac{4}{3} สำหรับ y ใน x=-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{2}{5}\times \frac{4}{3}+\frac{6}{5}$$

คูณ -\frac{2}{5} ครั้ง \frac{4}{3} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{8}{15}+\frac{6}{5}$$

เพิ่ม \frac{6}{5} ไปยัง -\frac{8}{15} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{2}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{2}{3},y=\frac{4}{3}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x+2y=6,2x+5y=8$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-2\times 2}&-\frac{2}{5\times 5-2\times 2}\\-\frac{2}{5\times 5-2\times 2}&\frac{5}{5\times 5-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&-\frac{2}{21}\\-\frac{2}{21}&\frac{5}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\times 6-\frac{2}{21}\times 8\\-\frac{2}{21}\times 6+\frac{5}{21}\times 8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{2}{3},y=\frac{4}{3}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x+2y=6,2x+5y=8$$

เพื่อทำให้ 5x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$2\times 5x+2\times 2y=2\times 6,5\times 2x+5\times 5y=5\times 8$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$10x+4y=12,10x+25y=40$$

ลบ 10x+25y=40 จาก 10x+4y=12 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$10x-10x+4y-25y=12-40$$

เพิ่ม 10x ไปยัง -10x ตัดพจน์ 10x และ -10x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$4y-25y=12-40$$

เพิ่ม 4y ไปยัง -25y

$$-21y=12-40$$

เพิ่ม 12 ไปยัง -40

$$-21y=-28$$

หารทั้งสองข้างด้วย -21

$$y=\frac{4}{3}$$

ทดแทน \frac{4}{3} สำหรับ y ใน 2x+5y=8 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x+5\times \frac{4}{3}=8$$

คูณ 5 ด้วย \frac{4}{3}

$$2x+\frac{20}{3}=8$$

ลบ \frac{20}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=\frac{4}{3}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{2}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{2}{3},y=\frac{4}{3}$$