แก้โจทย์ {l}{5x+2y=10}{x-3y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 10 } \\ { x - 3 y = 5 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{40}{17} = 2\frac{6}{17} \approx 2.352941176$$

$$y=-\frac{15}{17}\approx -0.882352941$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x+2y=10,x-3y=5$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x+2y=10$$

ลบ 2y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=-2y+10$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+10\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย -2y+10

$$x=-\frac{2}{5}y+2$$

ทดแทน -\frac{2y}{5}+2 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x-3y=5

$$-\frac{2}{5}y+2-3y=5$$

เพิ่ม -\frac{2y}{5} ไปยัง -3y

$$-\frac{17}{5}y+2=5$$

ลบ 2 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{17}{5}y=3$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{17}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{15}{17}$$

ทดแทน -\frac{15}{17} สำหรับ y ใน x=-\frac{2}{5}y+2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{2}{5}\left(-\frac{15}{17}\right)+2$$

คูณ -\frac{2}{5} ครั้ง -\frac{15}{17} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{6}{17}+2$$

เพิ่ม 2 ไปยัง \frac{6}{17}

$$x=\frac{40}{17}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{40}{17},y=-\frac{15}{17}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x+2y=10,x-3y=5$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&2\\1&-3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-2}&-\frac{2}{5\left(-3\right)-2}\\-\frac{1}{5\left(-3\right)-2}&\frac{5}{5\left(-3\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\\\frac{1}{17}&-\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}\times 10+\frac{2}{17}\times 5\\\frac{1}{17}\times 10-\frac{5}{17}\times 5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{17}\\-\frac{15}{17}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{40}{17},y=-\frac{15}{17}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x+2y=10,x-3y=5$$

เพื่อทำให้ 5x และ x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$5x+2y=10,5x+5\left(-3\right)y=5\times 5$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$5x+2y=10,5x-15y=25$$

ลบ 5x-15y=25 จาก 5x+2y=10 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x-5x+2y+15y=10-25$$

เพิ่ม 5x ไปยัง -5x ตัดพจน์ 5x และ -5x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$2y+15y=10-25$$

เพิ่ม 2y ไปยัง 15y

$$17y=10-25$$

เพิ่ม 10 ไปยัง -25

$$17y=-15$$

หารทั้งสองข้างด้วย 17

$$y=-\frac{15}{17}$$

ทดแทน -\frac{15}{17} สำหรับ y ใน x-3y=5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x-3\left(-\frac{15}{17}\right)=5$$

คูณ -3 ด้วย -\frac{15}{17}

$$x+\frac{45}{17}=5$$

ลบ \frac{45}{17} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{40}{17}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{40}{17},y=-\frac{15}{17}$$