แก้โจทย์ {l}{5x+2y=-6}{2x+5y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = - 6 } \\ { 2 x + 5 y = 8 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = -\frac{46}{21} = -2\frac{4}{21} \approx -2.19047619$$

$$y = \frac{52}{21} = 2\frac{10}{21} \approx 2.476190476$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x+2y=-6,2x+5y=8$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x+2y=-6$$

ลบ 2y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=-2y-6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y-6\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย -2y-6

$$x=-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}$$

ทดแทน \frac{-2y-6}{5} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x+5y=8

$$2\left(-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}\right)+5y=8$$

คูณ 2 ด้วย \frac{-2y-6}{5}

$$-\frac{4}{5}y-\frac{12}{5}+5y=8$$

เพิ่ม -\frac{4y}{5} ไปยัง 5y

$$\frac{21}{5}y-\frac{12}{5}=8$$

เพิ่ม \frac{12}{5} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{21}{5}y=\frac{52}{5}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{21}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{52}{21}$$

ทดแทน \frac{52}{21} สำหรับ y ใน x=-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{2}{5}\times \frac{52}{21}-\frac{6}{5}$$

คูณ -\frac{2}{5} ครั้ง \frac{52}{21} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{104}{105}-\frac{6}{5}$$

เพิ่ม -\frac{6}{5} ไปยัง -\frac{104}{105} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{46}{21}$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=-\frac{46}{21},y=\frac{52}{21}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x+2y=-6,2x+5y=8$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-2\times 2}&-\frac{2}{5\times 5-2\times 2}\\-\frac{2}{5\times 5-2\times 2}&\frac{5}{5\times 5-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&-\frac{2}{21}\\-\frac{2}{21}&\frac{5}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\left(-6\right)-\frac{2}{21}\times 8\\-\frac{2}{21}\left(-6\right)+\frac{5}{21}\times 8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{46}{21}\\\frac{52}{21}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{46}{21},y=\frac{52}{21}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x+2y=-6,2x+5y=8$$

เพื่อทำให้ 5x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$2\times 5x+2\times 2y=2\left(-6\right),5\times 2x+5\times 5y=5\times 8$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$10x+4y=-12,10x+25y=40$$

ลบ 10x+25y=40 จาก 10x+4y=-12 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$10x-10x+4y-25y=-12-40$$

เพิ่ม 10x ไปยัง -10x ตัดพจน์ 10x และ -10x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$4y-25y=-12-40$$

เพิ่ม 4y ไปยัง -25y

$$-21y=-12-40$$

เพิ่ม -12 ไปยัง -40

$$-21y=-52$$

หารทั้งสองข้างด้วย -21

$$y=\frac{52}{21}$$

ทดแทน \frac{52}{21} สำหรับ y ใน 2x+5y=8 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x+5\times \frac{52}{21}=8$$

คูณ 5 ด้วย \frac{52}{21}

$$2x+\frac{260}{21}=8$$

ลบ \frac{260}{21} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-\frac{92}{21}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=-\frac{46}{21}$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=-\frac{46}{21},y=\frac{52}{21}$$