แก้โจทย์ {l}{5x+10y=-70}{-8x+30y=20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 10 y = - 70 } \\ { - 8 x + 30 y = 20 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-10$$

$$y=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x+10y=-70,-8x+30y=20$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x+10y=-70$$

ลบ 10y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=-10y-70$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(-10y-70\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย -10y-70

$$x=-2y-14$$

ทดแทน -2y-14 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -8x+30y=20

$$-8\left(-2y-14\right)+30y=20$$

คูณ -8 ด้วย -2y-14

$$16y+112+30y=20$$

เพิ่ม 16y ไปยัง 30y

$$46y+112=20$$

ลบ 112 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$46y=-92$$

หารทั้งสองข้างด้วย 46

$$y=-2$$

ทดแทน -2 สำหรับ y ใน x=-2y-14 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-2\left(-2\right)-14$$

คูณ -2 ด้วย -2

$$x=4-14$$

เพิ่ม -14 ไปยัง 4

$$x=-10$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-10,y=-2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x+10y=-70,-8x+30y=20$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{30}{5\times 30-10\left(-8\right)}&-\frac{10}{5\times 30-10\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{5\times 30-10\left(-8\right)}&\frac{5}{5\times 30-10\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{23}&-\frac{1}{23}\\\frac{4}{115}&\frac{1}{46}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{23}\left(-70\right)-\frac{1}{23}\times 20\\\frac{4}{115}\left(-70\right)+\frac{1}{46}\times 20\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-10,y=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x+10y=-70,-8x+30y=20$$

เพื่อทำให้ 5x และ -8x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -8 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$-8\times 5x-8\times 10y=-8\left(-70\right),5\left(-8\right)x+5\times 30y=5\times 20$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-40x-80y=560,-40x+150y=100$$

ลบ -40x+150y=100 จาก -40x-80y=560 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-40x+40x-80y-150y=560-100$$

เพิ่ม -40x ไปยัง 40x ตัดพจน์ -40x และ 40x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-80y-150y=560-100$$

เพิ่ม -80y ไปยัง -150y

$$-230y=560-100$$

เพิ่ม 560 ไปยัง -100

$$-230y=460$$

หารทั้งสองข้างด้วย -230

$$y=-2$$

ทดแทน -2 สำหรับ y ใน -8x+30y=20 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-8x+30\left(-2\right)=20$$

คูณ 30 ด้วย -2

$$-8x-60=20$$

เพิ่ม 60 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-8x=80$$

หารทั้งสองข้างด้วย -8

$$x=-10$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-10,y=-2$$