แก้โจทย์ {l}{5x+1y=2}{2x-5y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 1 y = 2 } \\ { 2 x - 5 y = 2 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{4}{9}\approx 0.444444444$$

$$y=-\frac{2}{9}\approx -0.222222222$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x+y=2,2x-5y=2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x+y=2$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=-y+2$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+2\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย -y+2

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{2}{5}$$

ทดแทน \frac{-y+2}{5} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x-5y=2

$$2\left(-\frac{1}{5}y+\frac{2}{5}\right)-5y=2$$

คูณ 2 ด้วย \frac{-y+2}{5}

$$-\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}-5y=2$$

เพิ่ม -\frac{2y}{5} ไปยัง -5y

$$-\frac{27}{5}y+\frac{4}{5}=2$$

ลบ \frac{4}{5} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{27}{5}y=\frac{6}{5}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{27}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{2}{9}$$

ทดแทน -\frac{2}{9} สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{5}y+\frac{2}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{5}\left(-\frac{2}{9}\right)+\frac{2}{5}$$

คูณ -\frac{1}{5} ครั้ง -\frac{2}{9} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{2}{45}+\frac{2}{5}$$

เพิ่ม \frac{2}{5} ไปยัง \frac{2}{45} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{4}{9}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{4}{9},y=-\frac{2}{9}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x+y=2,2x-5y=2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{5\left(-5\right)-2}&-\frac{1}{5\left(-5\right)-2}\\-\frac{2}{5\left(-5\right)-2}&\frac{5}{5\left(-5\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{27}&\frac{1}{27}\\\frac{2}{27}&-\frac{5}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{27}\times 2+\frac{1}{27}\times 2\\\frac{2}{27}\times 2-\frac{5}{27}\times 2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}\\-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{4}{9},y=-\frac{2}{9}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x+y=2,2x-5y=2$$

เพื่อทำให้ 5x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$2\times 5x+2y=2\times 2,5\times 2x+5\left(-5\right)y=5\times 2$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$10x+2y=4,10x-25y=10$$

ลบ 10x-25y=10 จาก 10x+2y=4 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$10x-10x+2y+25y=4-10$$

เพิ่ม 10x ไปยัง -10x ตัดพจน์ 10x และ -10x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$2y+25y=4-10$$

เพิ่ม 2y ไปยัง 25y

$$27y=4-10$$

เพิ่ม 4 ไปยัง -10

$$27y=-6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 27

$$y=-\frac{2}{9}$$

ทดแทน -\frac{2}{9} สำหรับ y ใน 2x-5y=2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x-5\left(-\frac{2}{9}\right)=2$$

คูณ -5 ด้วย -\frac{2}{9}

$$2x+\frac{10}{9}=2$$

ลบ \frac{10}{9} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=\frac{8}{9}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{4}{9}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{4}{9},y=-\frac{2}{9}$$