แก้โจทย์ {l}{5=3k+b}{-9=-4k+b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 = 3 k + b } \\ { - 9 = - 4 k + b } \end{array} \right.$$

หาค่า k, b

$$k=2$$

$$b=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$3k+b=5$$

พิจารณาสมการที่สอง สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$-4k+b=-9$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3k+b=5,-4k+b=-9$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ k โดยแยก k ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3k+b=5$$

ลบ b จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3k=-b+5$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$k=\frac{1}{3}\left(-b+5\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -b+5

$$k=-\frac{1}{3}b+\frac{5}{3}$$

ทดแทน \frac{-b+5}{3} สำหรับ k ในอีกสมการหนึ่ง -4k+b=-9

$$-4\left(-\frac{1}{3}b+\frac{5}{3}\right)+b=-9$$

คูณ -4 ด้วย \frac{-b+5}{3}

$$\frac{4}{3}b-\frac{20}{3}+b=-9$$

เพิ่ม \frac{4b}{3} ไปยัง b

$$\frac{7}{3}b-\frac{20}{3}=-9$$

เพิ่ม \frac{20}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{7}{3}b=-\frac{7}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{7}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$b=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ b ใน k=-\frac{1}{3}b+\frac{5}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า k โดยตรงได้

$$k=-\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{5}{3}$$

คูณ -\frac{1}{3} ด้วย -1

$$k=\frac{1+5}{3}$$

เพิ่ม \frac{5}{3} ไปยัง \frac{1}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$k=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$k=2,b=-1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$3k+b=5$$

พิจารณาสมการที่สอง สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$-4k+b=-9$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3k+b=5,-4k+b=-9$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-4\right)}&-\frac{1}{3-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{3-\left(-4\right)}&\frac{3}{3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\\\frac{4}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 5-\frac{1}{7}\left(-9\right)\\\frac{4}{7}\times 5+\frac{3}{7}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ k และ b

$$k=2,b=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$3k+b=5$$

พิจารณาสมการที่สอง สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$-4k+b=-9$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3k+b=5,-4k+b=-9$$

ลบ -4k+b=-9 จาก 3k+b=5 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3k+4k+b-b=5+9$$

เพิ่ม b ไปยัง -b ตัดพจน์ b และ -b ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$3k+4k=5+9$$

เพิ่ม 3k ไปยัง 4k

$$7k=5+9$$

เพิ่ม 5 ไปยัง 9

$$7k=14$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$k=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ k ใน -4k+b=-9 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า b โดยตรงได้

$$-4\times 2+b=-9$$

คูณ -4 ด้วย 2

$$-8+b=-9$$

เพิ่ม 8 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$b=-1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$k=2,b=-1$$