แก้โจทย์ {l}{4x-5y=9}{7x-4y=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 5 y = 9 } \\ { 7 x - 4 y = 15 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{39}{19} = 2\frac{1}{19} \approx 2.052631579$$

$$y=-\frac{3}{19}\approx -0.157894737$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4x-5y=9,7x-4y=15$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x-5y=9$$

เพิ่ม 5y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=5y+9$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+9\right)$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย 5y+9

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{9}{4}$$

ทดแทน \frac{5y+9}{4} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 7x-4y=15

$$7\left(\frac{5}{4}y+\frac{9}{4}\right)-4y=15$$

คูณ 7 ด้วย \frac{5y+9}{4}

$$\frac{35}{4}y+\frac{63}{4}-4y=15$$

เพิ่ม \frac{35y}{4} ไปยัง -4y

$$\frac{19}{4}y+\frac{63}{4}=15$$

ลบ \frac{63}{4} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{19}{4}y=-\frac{3}{4}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{19}{4} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{3}{19}$$

ทดแทน -\frac{3}{19} สำหรับ y ใน x=\frac{5}{4}y+\frac{9}{4} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{5}{4}\left(-\frac{3}{19}\right)+\frac{9}{4}$$

คูณ \frac{5}{4} ครั้ง -\frac{3}{19} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{15}{76}+\frac{9}{4}$$

เพิ่ม \frac{9}{4} ไปยัง -\frac{15}{76} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{39}{19}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{39}{19},y=-\frac{3}{19}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4x-5y=9,7x-4y=15$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}&-\frac{-5}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}\\-\frac{7}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}&\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{7}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{19}\times 9+\frac{5}{19}\times 15\\-\frac{7}{19}\times 9+\frac{4}{19}\times 15\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{39}{19}\\-\frac{3}{19}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{39}{19},y=-\frac{3}{19}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4x-5y=9,7x-4y=15$$

เพื่อทำให้ 4x และ 7x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 7 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 4

$$7\times 4x+7\left(-5\right)y=7\times 9,4\times 7x+4\left(-4\right)y=4\times 15$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$28x-35y=63,28x-16y=60$$

ลบ 28x-16y=60 จาก 28x-35y=63 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$28x-28x-35y+16y=63-60$$

เพิ่ม 28x ไปยัง -28x ตัดพจน์ 28x และ -28x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-35y+16y=63-60$$

เพิ่ม -35y ไปยัง 16y

$$-19y=63-60$$

เพิ่ม 63 ไปยัง -60

$$-19y=3$$

หารทั้งสองข้างด้วย -19

$$y=-\frac{3}{19}$$

ทดแทน -\frac{3}{19} สำหรับ y ใน 7x-4y=15 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$7x-4\left(-\frac{3}{19}\right)=15$$

คูณ -4 ด้วย -\frac{3}{19}

$$7x+\frac{12}{19}=15$$

ลบ \frac{12}{19} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$7x=\frac{273}{19}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$x=\frac{39}{19}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{39}{19},y=-\frac{3}{19}$$