แก้โจทย์ {l}{4x-5y=7}{2x+3y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 5 y = 7 } \\ { 2 x + 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{13}{11} = 1\frac{2}{11} \approx 1.181818182$$

$$y=-\frac{5}{11}\approx -0.454545455$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4x-5y=7,2x+3y=1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x-5y=7$$

เพิ่ม 5y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=5y+7$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+7\right)$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย 5y+7

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}$$

ทดแทน \frac{5y+7}{4} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x+3y=1

$$2\left(\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}\right)+3y=1$$

คูณ 2 ด้วย \frac{5y+7}{4}

$$\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}+3y=1$$

เพิ่ม \frac{5y}{2} ไปยัง 3y

$$\frac{11}{2}y+\frac{7}{2}=1$$

ลบ \frac{7}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{11}{2}y=-\frac{5}{2}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{11}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{5}{11}$$

ทดแทน -\frac{5}{11} สำหรับ y ใน x=\frac{5}{4}y+\frac{7}{4} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{5}{4}\left(-\frac{5}{11}\right)+\frac{7}{4}$$

คูณ \frac{5}{4} ครั้ง -\frac{5}{11} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{25}{44}+\frac{7}{4}$$

เพิ่ม \frac{7}{4} ไปยัง -\frac{25}{44} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{13}{11}$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=\frac{13}{11},y=-\frac{5}{11}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4x-5y=7,2x+3y=1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&\frac{5}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 7+\frac{5}{22}\\-\frac{1}{11}\times 7+\frac{2}{11}\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{11}\\-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{13}{11},y=-\frac{5}{11}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4x-5y=7,2x+3y=1$$

เพื่อทำให้ 4x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 4

$$2\times 4x+2\left(-5\right)y=2\times 7,4\times 2x+4\times 3y=4$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$8x-10y=14,8x+12y=4$$

ลบ 8x+12y=4 จาก 8x-10y=14 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$8x-8x-10y-12y=14-4$$

เพิ่ม 8x ไปยัง -8x ตัดพจน์ 8x และ -8x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-10y-12y=14-4$$

เพิ่ม -10y ไปยัง -12y

$$-22y=14-4$$

เพิ่ม 14 ไปยัง -4

$$-22y=10$$

หารทั้งสองข้างด้วย -22

$$y=-\frac{5}{11}$$

ทดแทน -\frac{5}{11} สำหรับ y ใน 2x+3y=1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x+3\left(-\frac{5}{11}\right)=1$$

คูณ 3 ด้วย -\frac{5}{11}

$$2x-\frac{15}{11}=1$$

เพิ่ม \frac{15}{11} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=\frac{26}{11}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{13}{11}$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=\frac{13}{11},y=-\frac{5}{11}$$