แก้โจทย์ {l}{4x-2y=1}{6x+3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 2 y = 1 } \\ { 6 x + 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{3}{8}=0.375$$

$$y=\frac{1}{4}=0.25$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4x-2y=1,6x+3y=3$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x-2y=1$$

เพิ่ม 2y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=2y+1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+1\right)$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย 2y+1

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}$$

ทดแทน \frac{y}{2}+\frac{1}{4} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 6x+3y=3

$$6\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}\right)+3y=3$$

คูณ 6 ด้วย \frac{y}{2}+\frac{1}{4}

$$3y+\frac{3}{2}+3y=3$$

เพิ่ม 3y ไปยัง 3y

$$6y+\frac{3}{2}=3$$

ลบ \frac{3}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$6y=\frac{3}{2}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$y=\frac{1}{4}$$

ทดแทน \frac{1}{4} สำหรับ y ใน x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{4} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{1}{2}\times \frac{1}{4}+\frac{1}{4}$$

คูณ \frac{1}{2} ครั้ง \frac{1}{4} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}$$

เพิ่ม \frac{1}{4} ไปยัง \frac{1}{8} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{3}{8}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{1}{4}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4x-2y=1,6x+3y=3$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&-2\\6&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\times 6\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\times 6\right)}\\-\frac{6}{4\times 3-\left(-2\times 6\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{12}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}+\frac{1}{12}\times 3\\-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\times 3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\\\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{1}{4}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4x-2y=1,6x+3y=3$$

เพื่อทำให้ 4x และ 6x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 6 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 4

$$6\times 4x+6\left(-2\right)y=6,4\times 6x+4\times 3y=4\times 3$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$24x-12y=6,24x+12y=12$$

ลบ 24x+12y=12 จาก 24x-12y=6 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$24x-24x-12y-12y=6-12$$

เพิ่ม 24x ไปยัง -24x ตัดพจน์ 24x และ -24x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-12y-12y=6-12$$

เพิ่ม -12y ไปยัง -12y

$$-24y=6-12$$

เพิ่ม 6 ไปยัง -12

$$-24y=-6$$

หารทั้งสองข้างด้วย -24

$$y=\frac{1}{4}$$

ทดแทน \frac{1}{4} สำหรับ y ใน 6x+3y=3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$6x+3\times \frac{1}{4}=3$$

คูณ 3 ด้วย \frac{1}{4}

$$6x+\frac{3}{4}=3$$

ลบ \frac{3}{4} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$6x=\frac{9}{4}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$x=\frac{3}{8}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{1}{4}$$