แก้โจทย์ {l}{4x+y=9}{2x+y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + y = 9 } \\ { 2 x + y = 7 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=1$$

$$y=5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4x+y=9,2x+y=7$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x+y=9$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=-y+9$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+9\right)$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย -y+9

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{9}{4}$$

ทดแทน \frac{-y+9}{4} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x+y=7

$$2\left(-\frac{1}{4}y+\frac{9}{4}\right)+y=7$$

คูณ 2 ด้วย \frac{-y+9}{4}

$$-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}+y=7$$

เพิ่ม -\frac{y}{2} ไปยัง y

$$\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}=7$$

ลบ \frac{9}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{1}{2}y=\frac{5}{2}$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 2

$$y=5$$

ทดแทน 5 สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{4}y+\frac{9}{4} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{4}\times 5+\frac{9}{4}$$

คูณ -\frac{1}{4} ด้วย 5

$$x=\frac{-5+9}{4}$$

เพิ่ม \frac{9}{4} ไปยัง -\frac{5}{4} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=1$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=1,y=5$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4x+y=9,2x+y=7$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-2}&-\frac{1}{4-2}\\-\frac{2}{4-2}&\frac{4}{4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 9-\frac{1}{2}\times 7\\-9+2\times 7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=1,y=5$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4x+y=9,2x+y=7$$

ลบ 2x+y=7 จาก 4x+y=9 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x-2x+y-y=9-7$$

เพิ่ม y ไปยัง -y ตัดพจน์ y และ -y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$4x-2x=9-7$$

เพิ่ม 4x ไปยัง -2x

$$2x=9-7$$

เพิ่ม 9 ไปยัง -7

$$2x=2$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ x ใน 2x+y=7 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$2+y=7$$

ลบ 2 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=5$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=1,y=5$$