แก้โจทย์ {l}{4x+3y=-7}{3x-5y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = - 7 } \\ { 3 x - 5 y = 2 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-1$$

$$y=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4x+3y=-7,3x-5y=2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x+3y=-7$$

ลบ 3y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=-3y-7$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y-7\right)$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย -3y-7

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4}$$

ทดแทน \frac{-3y-7}{4} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x-5y=2

$$3\left(-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4}\right)-5y=2$$

คูณ 3 ด้วย \frac{-3y-7}{4}

$$-\frac{9}{4}y-\frac{21}{4}-5y=2$$

เพิ่ม -\frac{9y}{4} ไปยัง -5y

$$-\frac{29}{4}y-\frac{21}{4}=2$$

เพิ่ม \frac{21}{4} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{29}{4}y=\frac{29}{4}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{29}{4} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ y ใน x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{3}{4}\left(-1\right)-\frac{7}{4}$$

คูณ -\frac{3}{4} ด้วย -1

$$x=\frac{3-7}{4}$$

เพิ่ม -\frac{7}{4} ไปยัง \frac{3}{4} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-1,y=-1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4x+3y=-7,3x-5y=2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4\left(-5\right)-3\times 3}&-\frac{3}{4\left(-5\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-5\right)-3\times 3}&\frac{4}{4\left(-5\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}&\frac{3}{29}\\\frac{3}{29}&-\frac{4}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}\left(-7\right)+\frac{3}{29}\times 2\\\frac{3}{29}\left(-7\right)-\frac{4}{29}\times 2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-1,y=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4x+3y=-7,3x-5y=2$$

เพื่อทำให้ 4x และ 3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 4

$$3\times 4x+3\times 3y=3\left(-7\right),4\times 3x+4\left(-5\right)y=4\times 2$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$12x+9y=-21,12x-20y=8$$

ลบ 12x-20y=8 จาก 12x+9y=-21 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$12x-12x+9y+20y=-21-8$$

เพิ่ม 12x ไปยัง -12x ตัดพจน์ 12x และ -12x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$9y+20y=-21-8$$

เพิ่ม 9y ไปยัง 20y

$$29y=-21-8$$

เพิ่ม -21 ไปยัง -8

$$29y=-29$$

หารทั้งสองข้างด้วย 29

$$y=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ y ใน 3x-5y=2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x-5\left(-1\right)=2$$

คูณ -5 ด้วย -1

$$3x+5=2$$

ลบ 5 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-3$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=-1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-1,y=-1$$