แก้โจทย์ {l}{4x+3y+14=0}{2x+5y+16=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y + 14 = 0 } \\ { 2 x + 5 y + 16 = 0 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = -\frac{11}{7} = -1\frac{4}{7} \approx -1.571428571$$

$$y = -\frac{18}{7} = -2\frac{4}{7} \approx -2.571428571$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4x+3y+14=0,2x+5y+16=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x+3y+14=0$$

ลบ 14 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x+3y=-14$$

ลบ 3y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=-3y-14$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y-14\right)$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย -3y-14

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{2}$$

ทดแทน -\frac{3y}{4}-\frac{7}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x+5y+16=0

$$2\left(-\frac{3}{4}y-\frac{7}{2}\right)+5y+16=0$$

คูณ 2 ด้วย -\frac{3y}{4}-\frac{7}{2}

$$-\frac{3}{2}y-7+5y+16=0$$

เพิ่ม -\frac{3y}{2} ไปยัง 5y

$$\frac{7}{2}y-7+16=0$$

เพิ่ม -7 ไปยัง 16

$$\frac{7}{2}y+9=0$$

ลบ 9 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{7}{2}y=-9$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{7}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{18}{7}$$

ทดแทน -\frac{18}{7} สำหรับ y ใน x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{3}{4}\left(-\frac{18}{7}\right)-\frac{7}{2}$$

คูณ -\frac{3}{4} ครั้ง -\frac{18}{7} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{27}{14}-\frac{7}{2}$$

เพิ่ม -\frac{7}{2} ไปยัง \frac{27}{14} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{11}{7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{11}{7},y=-\frac{18}{7}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4x+3y+14=0,2x+5y+16=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 2}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 2}\\-\frac{2}{4\times 5-3\times 2}&\frac{4}{4\times 5-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}&-\frac{3}{14}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}\left(-14\right)-\frac{3}{14}\left(-16\right)\\-\frac{1}{7}\left(-14\right)+\frac{2}{7}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{7}\\-\frac{18}{7}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{11}{7},y=-\frac{18}{7}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4x+3y+14=0,2x+5y+16=0$$

เพื่อทำให้ 4x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 4

$$2\times 4x+2\times 3y+2\times 14=0,4\times 2x+4\times 5y+4\times 16=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$8x+6y+28=0,8x+20y+64=0$$

ลบ 8x+20y+64=0 จาก 8x+6y+28=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$8x-8x+6y-20y+28-64=0$$

เพิ่ม 8x ไปยัง -8x ตัดพจน์ 8x และ -8x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$6y-20y+28-64=0$$

เพิ่ม 6y ไปยัง -20y

$$-14y+28-64=0$$

เพิ่ม 28 ไปยัง -64

$$-14y-36=0$$

เพิ่ม 36 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-14y=36$$

หารทั้งสองข้างด้วย -14

$$y=-\frac{18}{7}$$

ทดแทน -\frac{18}{7} สำหรับ y ใน 2x+5y+16=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x+5\left(-\frac{18}{7}\right)+16=0$$

คูณ 5 ด้วย -\frac{18}{7}

$$2x-\frac{90}{7}+16=0$$

เพิ่ม -\frac{90}{7} ไปยัง 16

$$2x+\frac{22}{7}=0$$

ลบ \frac{22}{7} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-\frac{22}{7}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=-\frac{11}{7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{11}{7},y=-\frac{18}{7}$$