แก้โจทย์ {l}{4x+2y=25,2}{5y+x=32}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 25,2 } \\ { 5 y + x = 32 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{31}{9} = 3\frac{4}{9} \approx 3.444444444$$

$$y = \frac{257}{45} = 5\frac{32}{45} \approx 5.711111111$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4x+2y=25.2,x+5y=32$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x+2y=25.2$$

ลบ 2y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=-2y+25.2$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+25.2\right)$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย -2y+25.2

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10}$$

ทดแทน -\frac{y}{2}+\frac{63}{10} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x+5y=32

$$-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10}+5y=32$$

เพิ่ม -\frac{y}{2} ไปยัง 5y

$$\frac{9}{2}y+\frac{63}{10}=32$$

ลบ \frac{63}{10} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{9}{2}y=\frac{257}{10}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{9}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{257}{45}$$

ทดแทน \frac{257}{45} สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{257}{45}+\frac{63}{10}$$

คูณ -\frac{1}{2} ครั้ง \frac{257}{45} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{257}{90}+\frac{63}{10}$$

เพิ่ม \frac{63}{10} ไปยัง -\frac{257}{90} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{31}{9}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{31}{9},y=\frac{257}{45}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4x+2y=25.2,x+5y=32$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-2}&-\frac{2}{4\times 5-2}\\-\frac{1}{4\times 5-2}&\frac{4}{4\times 5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{18}&-\frac{1}{9}\\-\frac{1}{18}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{18}\times 25.2-\frac{1}{9}\times 32\\-\frac{1}{18}\times 25.2+\frac{2}{9}\times 32\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{31}{9}\\\frac{257}{45}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{31}{9},y=\frac{257}{45}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4x+2y=25.2,x+5y=32$$

เพื่อทำให้ 4x และ x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 4

$$4x+2y=25.2,4x+4\times 5y=4\times 32$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$4x+2y=25.2,4x+20y=128$$

ลบ 4x+20y=128 จาก 4x+2y=25.2 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x-4x+2y-20y=25.2-128$$

เพิ่ม 4x ไปยัง -4x ตัดพจน์ 4x และ -4x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$2y-20y=25.2-128$$

เพิ่ม 2y ไปยัง -20y

$$-18y=25.2-128$$

เพิ่ม 25.2 ไปยัง -128

$$-18y=-102.8$$

หารทั้งสองข้างด้วย -18

$$y=\frac{257}{45}$$

ทดแทน \frac{257}{45} สำหรับ y ใน x+5y=32 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x+5\times \frac{257}{45}=32$$

คูณ 5 ด้วย \frac{257}{45}

$$x+\frac{257}{9}=32$$

ลบ \frac{257}{9} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{31}{9}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{31}{9},y=\frac{257}{45}$$