แก้โจทย์ {l}{4m+9n=-35}{3m-8n=18}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 m + 9 n = - 35 } \\ { 3 m - 8 n = 18 } \end{array} \right.$$

หาค่า m, n

$$m=-2$$

$$n=-3$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ m โดยแยก m ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4m+9n=-35$$

ลบ 9n จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4m=-9n-35$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$m=\frac{1}{4}\left(-9n-35\right)$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย -9n-35

$$m=-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}$$

ทดแทน \frac{-9n-35}{4} สำหรับ m ในอีกสมการหนึ่ง 3m-8n=18

$$3\left(-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}\right)-8n=18$$

คูณ 3 ด้วย \frac{-9n-35}{4}

$$-\frac{27}{4}n-\frac{105}{4}-8n=18$$

เพิ่ม -\frac{27n}{4} ไปยัง -8n

$$-\frac{59}{4}n-\frac{105}{4}=18$$

เพิ่ม \frac{105}{4} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{59}{4}n=\frac{177}{4}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{59}{4} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$n=-3$$

ทดแทน -3 สำหรับ n ใน m=-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า m โดยตรงได้

$$m=-\frac{9}{4}\left(-3\right)-\frac{35}{4}$$

คูณ -\frac{9}{4} ด้วย -3

$$m=\frac{27-35}{4}$$

เพิ่ม -\frac{35}{4} ไปยัง \frac{27}{4} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$m=-2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$m=-2,n=-3$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{4\left(-8\right)-9\times 3}&-\frac{9}{4\left(-8\right)-9\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-8\right)-9\times 3}&\frac{4}{4\left(-8\right)-9\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{59}&\frac{9}{59}\\\frac{3}{59}&-\frac{4}{59}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{59}\left(-35\right)+\frac{9}{59}\times 18\\\frac{3}{59}\left(-35\right)-\frac{4}{59}\times 18\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-3\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ m และ n

$$m=-2,n=-3$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

เพื่อทำให้ 4m และ 3m เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 4

$$3\times 4m+3\times 9n=3\left(-35\right),4\times 3m+4\left(-8\right)n=4\times 18$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$12m+27n=-105,12m-32n=72$$

ลบ 12m-32n=72 จาก 12m+27n=-105 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$12m-12m+27n+32n=-105-72$$

เพิ่ม 12m ไปยัง -12m ตัดพจน์ 12m และ -12m ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$27n+32n=-105-72$$

เพิ่ม 27n ไปยัง 32n

$$59n=-105-72$$

เพิ่ม -105 ไปยัง -72

$$59n=-177$$

หารทั้งสองข้างด้วย 59

$$n=-3$$

ทดแทน -3 สำหรับ n ใน 3m-8n=18 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า m โดยตรงได้

$$3m-8\left(-3\right)=18$$

คูณ -8 ด้วย -3

$$3m+24=18$$

ลบ 24 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3m=-6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$m=-2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$m=-2,n=-3$$