แก้โจทย์ {l}{4(2x-y)-7(2y+x)=-36}{-2(x+2)-7y=-18}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 ( 2 x - y ) - 7 ( 2 y + x ) = - 36 } \\ { - 2 ( x + 2 ) - 7 y = - 18 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=0$$

$$y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย 2x-y

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -7 ด้วย 2y+x

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

รวม -4y และ -14y เพื่อให้ได้รับ -18y

$$8x-18y-7x=-36$$

รวม 8x และ -7x เพื่อให้ได้รับ x

$$x-18y=-36$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -2 ด้วย x+2

$$-2x-4-7y=-18$$

เพิ่ม 4 ไปทั้งสองด้าน

$$-2x-7y=-18+4$$

เพิ่ม -18 และ 4 เพื่อให้ได้รับ -14

$$-2x-7y=-14$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x-18y=-36$$

เพิ่ม 18y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=18y-36$$

ทดแทน -36+18y สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -2x-7y=-14

$$-2\left(18y-36\right)-7y=-14$$

คูณ -2 ด้วย -36+18y

$$-36y+72-7y=-14$$

เพิ่ม -36y ไปยัง -7y

$$-43y+72=-14$$

ลบ 72 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-43y=-86$$

หารทั้งสองข้างด้วย -43

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน x=18y-36 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=18\times 2-36$$

คูณ 18 ด้วย 2

$$x=36-36$$

เพิ่ม -36 ไปยัง 36

$$x=0$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=0,y=2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย 2x-y

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -7 ด้วย 2y+x

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

รวม -4y และ -14y เพื่อให้ได้รับ -18y

$$8x-18y-7x=-36$$

รวม 8x และ -7x เพื่อให้ได้รับ x

$$x-18y=-36$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -2 ด้วย x+2

$$-2x-4-7y=-18$$

เพิ่ม 4 ไปทั้งสองด้าน

$$-2x-7y=-18+4$$

เพิ่ม -18 และ 4 เพื่อให้ได้รับ -14

$$-2x-7y=-14$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}&-\frac{-18}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{43}&-\frac{18}{43}\\-\frac{2}{43}&-\frac{1}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{43}\left(-36\right)-\frac{18}{43}\left(-14\right)\\-\frac{2}{43}\left(-36\right)-\frac{1}{43}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=0,y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย 2x-y

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -7 ด้วย 2y+x

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

รวม -4y และ -14y เพื่อให้ได้รับ -18y

$$8x-18y-7x=-36$$

รวม 8x และ -7x เพื่อให้ได้รับ x

$$x-18y=-36$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -2 ด้วย x+2

$$-2x-4-7y=-18$$

เพิ่ม 4 ไปทั้งสองด้าน

$$-2x-7y=-18+4$$

เพิ่ม -18 และ 4 เพื่อให้ได้รับ -14

$$-2x-7y=-14$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

เพื่อทำให้ x และ -2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$-2x-2\left(-18\right)y=-2\left(-36\right),-2x-7y=-14$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-2x+36y=72,-2x-7y=-14$$

ลบ -2x-7y=-14 จาก -2x+36y=72 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-2x+2x+36y+7y=72+14$$

เพิ่ม -2x ไปยัง 2x ตัดพจน์ -2x และ 2x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$36y+7y=72+14$$

เพิ่ม 36y ไปยัง 7y

$$43y=72+14$$

เพิ่ม 72 ไปยัง 14

$$43y=86$$

หารทั้งสองข้างด้วย 43

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน -2x-7y=-14 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-2x-7\times 2=-14$$

คูณ -7 ด้วย 2

$$-2x-14=-14$$

เพิ่ม 14 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-2x=0$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$x=0$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=0,y=2$$