แก้โจทย์ {l}{361x+463y=-102}{463x+361y=102}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 361 x + 463 y = - 102 } \\ { 463 x + 361 y = 102 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$361x+463y=-102$$

ลบ 463y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$361x=-463y-102$$

หารทั้งสองข้างด้วย 361

$$x=\frac{1}{361}\left(-463y-102\right)$$

คูณ \frac{1}{361} ด้วย -463y-102

$$x=-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361}$$

ทดแทน \frac{-463y-102}{361} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 463x+361y=102

$$463\left(-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361}\right)+361y=102$$

คูณ 463 ด้วย \frac{-463y-102}{361}

$$-\frac{214369}{361}y-\frac{47226}{361}+361y=102$$

เพิ่ม -\frac{214369y}{361} ไปยัง 361y

$$-\frac{84048}{361}y-\frac{47226}{361}=102$$

เพิ่ม \frac{47226}{361} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{84048}{361}y=\frac{84048}{361}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{84048}{361} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ y ใน x=-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{463}{361}\left(-1\right)-\frac{102}{361}$$

คูณ -\frac{463}{361} ด้วย -1

$$x=\frac{463-102}{361}$$

เพิ่ม -\frac{102}{361} ไปยัง \frac{463}{361} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1,y=-1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{361}{361\times 361-463\times 463}&-\frac{463}{361\times 361-463\times 463}\\-\frac{463}{361\times 361-463\times 463}&\frac{361}{361\times 361-463\times 463}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{361}{84048}&\frac{463}{84048}\\\frac{463}{84048}&-\frac{361}{84048}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{361}{84048}\left(-102\right)+\frac{463}{84048}\times 102\\\frac{463}{84048}\left(-102\right)-\frac{361}{84048}\times 102\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=1,y=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

เพื่อทำให้ 361x และ 463x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 463 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 361

$$463\times 361x+463\times 463y=463\left(-102\right),361\times 463x+361\times 361y=361\times 102$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$167143x+214369y=-47226,167143x+130321y=36822$$

ลบ 167143x+130321y=36822 จาก 167143x+214369y=-47226 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$167143x-167143x+214369y-130321y=-47226-36822$$

เพิ่ม 167143x ไปยัง -167143x ตัดพจน์ 167143x และ -167143x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$214369y-130321y=-47226-36822$$

เพิ่ม 214369y ไปยัง -130321y

$$84048y=-47226-36822$$

เพิ่ม -47226 ไปยัง -36822

$$84048y=-84048$$

หารทั้งสองข้างด้วย 84048

$$y=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ y ใน 463x+361y=102 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$463x+361\left(-1\right)=102$$

คูณ 361 ด้วย -1

$$463x-361=102$$

เพิ่ม 361 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$463x=463$$

หารทั้งสองข้างด้วย 463

$$x=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1,y=-1$$