แก้โจทย์ {l}{300=30k+b}{900=50k+b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 300 = 30 k + b } \\ { 900 = 50 k + b } \end{array} \right.$$

หาค่า k, b

$$k=30$$

$$b=-600$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$30k+b=300$$

พิจารณาสมการที่สอง สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$50k+b=900$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$30k+b=300,50k+b=900$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ k โดยแยก k ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$30k+b=300$$

ลบ b จากทั้งสองข้างของสมการ

$$30k=-b+300$$

หารทั้งสองข้างด้วย 30

$$k=\frac{1}{30}\left(-b+300\right)$$

คูณ \frac{1}{30} ด้วย -b+300

$$k=-\frac{1}{30}b+10$$

ทดแทน -\frac{b}{30}+10 สำหรับ k ในอีกสมการหนึ่ง 50k+b=900

$$50\left(-\frac{1}{30}b+10\right)+b=900$$

คูณ 50 ด้วย -\frac{b}{30}+10

$$-\frac{5}{3}b+500+b=900$$

เพิ่ม -\frac{5b}{3} ไปยัง b

$$-\frac{2}{3}b+500=900$$

ลบ 500 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{2}{3}b=400$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{2}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$b=-600$$

ทดแทน -600 สำหรับ b ใน k=-\frac{1}{30}b+10 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า k โดยตรงได้

$$k=-\frac{1}{30}\left(-600\right)+10$$

คูณ -\frac{1}{30} ด้วย -600

$$k=20+10$$

เพิ่ม 10 ไปยัง 20

$$k=30$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$k=30,b=-600$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$30k+b=300$$

พิจารณาสมการที่สอง สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$50k+b=900$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$30k+b=300,50k+b=900$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}30&1\\50&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}300\\900\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}30&1\\50&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}30&1\\50&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30&1\\50&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&1\\50&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\900\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&1\\50&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\900\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&1\\50&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\900\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30-50}&-\frac{1}{30-50}\\-\frac{50}{30-50}&\frac{30}{30-50}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}300\\900\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}&\frac{1}{20}\\\frac{5}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}300\\900\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}\times 300+\frac{1}{20}\times 900\\\frac{5}{2}\times 300-\frac{3}{2}\times 900\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\-600\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ k และ b

$$k=30,b=-600$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$30k+b=300$$

พิจารณาสมการที่สอง สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$50k+b=900$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$30k+b=300,50k+b=900$$

ลบ 50k+b=900 จาก 30k+b=300 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$30k-50k+b-b=300-900$$

เพิ่ม b ไปยัง -b ตัดพจน์ b และ -b ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$30k-50k=300-900$$

เพิ่ม 30k ไปยัง -50k

$$-20k=300-900$$

เพิ่ม 300 ไปยัง -900

$$-20k=-600$$

หารทั้งสองข้างด้วย -20

$$k=30$$

ทดแทน 30 สำหรับ k ใน 50k+b=900 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า b โดยตรงได้

$$50\times 30+b=900$$

คูณ 50 ด้วย 30

$$1500+b=900$$

ลบ 1500 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$b=-600$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$k=30,b=-600$$