แก้โจทย์ {l}{30x+15y=675}{42x+20y=940}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 30 x + 15 y = 675 } \\ { 42 x + 20 y = 940 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=20$$

$$y=5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$30x+15y=675$$

ลบ 15y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$30x=-15y+675$$

หารทั้งสองข้างด้วย 30

$$x=\frac{1}{30}\left(-15y+675\right)$$

คูณ \frac{1}{30} ด้วย -15y+675

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}$$

ทดแทน \frac{-y+45}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 42x+20y=940

$$42\left(-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}\right)+20y=940$$

คูณ 42 ด้วย \frac{-y+45}{2}

$$-21y+945+20y=940$$

เพิ่ม -21y ไปยัง 20y

$$-y+945=940$$

ลบ 945 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-y=-5$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$y=5$$

ทดแทน 5 สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{2}\times 5+\frac{45}{2}$$

คูณ -\frac{1}{2} ด้วย 5

$$x=\frac{-5+45}{2}$$

เพิ่ม \frac{45}{2} ไปยัง -\frac{5}{2} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=20$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=20,y=5$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{30\times 20-15\times 42}&-\frac{15}{30\times 20-15\times 42}\\-\frac{42}{30\times 20-15\times 42}&\frac{30}{30\times 20-15\times 42}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{7}{5}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 675+\frac{1}{2}\times 940\\\frac{7}{5}\times 675-940\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\5\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=20,y=5$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

เพื่อทำให้ 30x และ 42x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 42 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 30

$$42\times 30x+42\times 15y=42\times 675,30\times 42x+30\times 20y=30\times 940$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$1260x+630y=28350,1260x+600y=28200$$

ลบ 1260x+600y=28200 จาก 1260x+630y=28350 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$1260x-1260x+630y-600y=28350-28200$$

เพิ่ม 1260x ไปยัง -1260x ตัดพจน์ 1260x และ -1260x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$630y-600y=28350-28200$$

เพิ่ม 630y ไปยัง -600y

$$30y=28350-28200$$

เพิ่ม 28350 ไปยัง -28200

$$30y=150$$

หารทั้งสองข้างด้วย 30

$$y=5$$

ทดแทน 5 สำหรับ y ใน 42x+20y=940 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$42x+20\times 5=940$$

คูณ 20 ด้วย 5

$$42x+100=940$$

ลบ 100 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$42x=840$$

หารทั้งสองข้างด้วย 42

$$x=20$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=20,y=5$$