แก้โจทย์ {l}{3y=4x+8}{2y-8x=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 y = 4 x + 8 } \\ { 2 y - 8 x = 7 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x=-\frac{5}{16}=-0.3125$$

$$y = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2.25$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 4x จากทั้งสองด้าน

$$3y-4x=8$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3y-4x=8$$

เพิ่ม 4x ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3y=4x+8$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$y=\frac{1}{3}\left(4x+8\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย 8+4x

$$y=\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}$$

ทดแทน \frac{8+4x}{3} สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง 2y-8x=7

$$2\left(\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}\right)-8x=7$$

คูณ 2 ด้วย \frac{8+4x}{3}

$$\frac{8}{3}x+\frac{16}{3}-8x=7$$

เพิ่ม \frac{8x}{3} ไปยัง -8x

$$-\frac{16}{3}x+\frac{16}{3}=7$$

ลบ \frac{16}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{16}{3}x=\frac{5}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{16}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=-\frac{5}{16}$$

ทดแทน -\frac{5}{16} สำหรับ x ใน y=\frac{4}{3}x+\frac{8}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=\frac{4}{3}\left(-\frac{5}{16}\right)+\frac{8}{3}$$

คูณ \frac{4}{3} ครั้ง -\frac{5}{16} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$y=-\frac{5}{12}+\frac{8}{3}$$

เพิ่ม \frac{8}{3} ไปยัง -\frac{5}{12} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$y=\frac{9}{4}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 4x จากทั้งสองด้าน

$$3y-4x=8$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{8}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 8-\frac{1}{4}\times 7\\\frac{1}{8}\times 8-\frac{3}{16}\times 7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\\-\frac{5}{16}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 4x จากทั้งสองด้าน

$$3y-4x=8$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

เพื่อทำให้ 3y และ 2y เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$2\times 3y+2\left(-4\right)x=2\times 8,3\times 2y+3\left(-8\right)x=3\times 7$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6y-8x=16,6y-24x=21$$

ลบ 6y-24x=21 จาก 6y-8x=16 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6y-6y-8x+24x=16-21$$

เพิ่ม 6y ไปยัง -6y ตัดพจน์ 6y และ -6y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-8x+24x=16-21$$

เพิ่ม -8x ไปยัง 24x

$$16x=16-21$$

เพิ่ม 16 ไปยัง -21

$$16x=-5$$

หารทั้งสองข้างด้วย 16

$$x=-\frac{5}{16}$$

ทดแทน -\frac{5}{16} สำหรับ x ใน 2y-8x=7 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$2y-8\left(-\frac{5}{16}\right)=7$$

คูณ -8 ด้วย -\frac{5}{16}

$$2y+\frac{5}{2}=7$$

ลบ \frac{5}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2y=\frac{9}{2}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$y=\frac{9}{4}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$