แก้โจทย์ {l}{3x-y=6}{2x+1/3y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = 6 } \\ { 2 x + \frac { 1 } { 3 } y = 8 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3.333333333$$

$$y=4$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x-y=6,2x+\frac{1}{3}y=8$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-y=6$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=y+6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(y+6\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย y+6

$$x=\frac{1}{3}y+2$$

ทดแทน \frac{y}{3}+2 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x+\frac{1}{3}y=8

$$2\left(\frac{1}{3}y+2\right)+\frac{1}{3}y=8$$

คูณ 2 ด้วย \frac{y}{3}+2

$$\frac{2}{3}y+4+\frac{1}{3}y=8$$

เพิ่ม \frac{2y}{3} ไปยัง \frac{y}{3}

$$y+4=8$$

ลบ 4 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ y ใน x=\frac{1}{3}y+2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{1}{3}\times 4+2$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย 4

$$x=\frac{4}{3}+2$$

เพิ่ม 2 ไปยัง \frac{4}{3}

$$x=\frac{10}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{10}{3},y=4$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x-y=6,2x+\frac{1}{3}y=8$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{3\times \frac{1}{3}-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3\times \frac{1}{3}-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3\times \frac{1}{3}-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times \frac{1}{3}-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 6+\frac{1}{3}\times 8\\-\frac{2}{3}\times 6+8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{3}\\4\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{10}{3},y=4$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x-y=6,2x+\frac{1}{3}y=8$$

เพื่อทำให้ 3x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\times 6,3\times 2x+3\times \frac{1}{3}y=3\times 8$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6x-2y=12,6x+y=24$$

ลบ 6x+y=24 จาก 6x-2y=12 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x-6x-2y-y=12-24$$

เพิ่ม 6x ไปยัง -6x ตัดพจน์ 6x และ -6x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-2y-y=12-24$$

เพิ่ม -2y ไปยัง -y

$$-3y=12-24$$

เพิ่ม 12 ไปยัง -24

$$-3y=-12$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$y=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ y ใน 2x+\frac{1}{3}y=8 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x+\frac{1}{3}\times 4=8$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย 4

$$2x+\frac{4}{3}=8$$

ลบ \frac{4}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=\frac{20}{3}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{10}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{10}{3},y=4$$