แก้โจทย์ {l}{3x-y=19}{2x+7y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = 19 } \\ { 2 x + 7 y = 5 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=6$$

$$y=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x-y=19,2x+7y=5$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-y=19$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=y+19$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(y+19\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย y+19

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{19}{3}$$

ทดแทน \frac{19+y}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x+7y=5

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{19}{3}\right)+7y=5$$

คูณ 2 ด้วย \frac{19+y}{3}

$$\frac{2}{3}y+\frac{38}{3}+7y=5$$

เพิ่ม \frac{2y}{3} ไปยัง 7y

$$\frac{23}{3}y+\frac{38}{3}=5$$

ลบ \frac{38}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{23}{3}y=-\frac{23}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{23}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ y ใน x=\frac{1}{3}y+\frac{19}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{19}{3}$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -1

$$x=\frac{-1+19}{3}$$

เพิ่ม \frac{19}{3} ไปยัง -\frac{1}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=6$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=6,y=-1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x-y=19,2x+7y=5$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3\times 7-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3\times 7-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 7-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}&\frac{1}{23}\\-\frac{2}{23}&\frac{3}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}\times 19+\frac{1}{23}\times 5\\-\frac{2}{23}\times 19+\frac{3}{23}\times 5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=6,y=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x-y=19,2x+7y=5$$

เพื่อทำให้ 3x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\times 19,3\times 2x+3\times 7y=3\times 5$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6x-2y=38,6x+21y=15$$

ลบ 6x+21y=15 จาก 6x-2y=38 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x-6x-2y-21y=38-15$$

เพิ่ม 6x ไปยัง -6x ตัดพจน์ 6x และ -6x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-2y-21y=38-15$$

เพิ่ม -2y ไปยัง -21y

$$-23y=38-15$$

เพิ่ม 38 ไปยัง -15

$$-23y=23$$

หารทั้งสองข้างด้วย -23

$$y=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ y ใน 2x+7y=5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x+7\left(-1\right)=5$$

คูณ 7 ด้วย -1

$$2x-7=5$$

เพิ่ม 7 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=12$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=6$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=6,y=-1$$