แก้โจทย์ {l}{3x-5y=14}{2x+7y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = 14 } \\ { 2 x + 7 y = - 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=3$$

$$y=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x-5y=14,2x+7y=-1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-5y=14$$

เพิ่ม 5y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=5y+14$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+14\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย 5y+14

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{14}{3}$$

ทดแทน \frac{5y+14}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x+7y=-1

$$2\left(\frac{5}{3}y+\frac{14}{3}\right)+7y=-1$$

คูณ 2 ด้วย \frac{5y+14}{3}

$$\frac{10}{3}y+\frac{28}{3}+7y=-1$$

เพิ่ม \frac{10y}{3} ไปยัง 7y

$$\frac{31}{3}y+\frac{28}{3}=-1$$

ลบ \frac{28}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{31}{3}y=-\frac{31}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{31}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ y ใน x=\frac{5}{3}y+\frac{14}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{5}{3}\left(-1\right)+\frac{14}{3}$$

คูณ \frac{5}{3} ด้วย -1

$$x=\frac{-5+14}{3}$$

เพิ่ม \frac{14}{3} ไปยัง -\frac{5}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=3,y=-1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x-5y=14,2x+7y=-1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&-5\\2&7\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{3\times 7-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 7-\left(-5\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 7-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{31}&\frac{5}{31}\\-\frac{2}{31}&\frac{3}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{31}\times 14+\frac{5}{31}\left(-1\right)\\-\frac{2}{31}\times 14+\frac{3}{31}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=3,y=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x-5y=14,2x+7y=-1$$

เพื่อทำให้ 3x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\times 14,3\times 2x+3\times 7y=3\left(-1\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6x-10y=28,6x+21y=-3$$

ลบ 6x+21y=-3 จาก 6x-10y=28 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x-6x-10y-21y=28+3$$

เพิ่ม 6x ไปยัง -6x ตัดพจน์ 6x และ -6x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-10y-21y=28+3$$

เพิ่ม -10y ไปยัง -21y

$$-31y=28+3$$

เพิ่ม 28 ไปยัง 3

$$-31y=31$$

หารทั้งสองข้างด้วย -31

$$y=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ y ใน 2x+7y=-1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x+7\left(-1\right)=-1$$

คูณ 7 ด้วย -1

$$2x-7=-1$$

เพิ่ม 7 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=3,y=-1$$