แก้โจทย์ {l}{3x-5y=0}{5x-3y=34}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = 0 } \\ { 5 x - 3 y = 34 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{85}{8} = 10\frac{5}{8} = 10.625$$

$$y = \frac{51}{8} = 6\frac{3}{8} = 6.375$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x-5y=0,5x-3y=34$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-5y=0$$

เพิ่ม 5y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=5y$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\times 5y$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย 5y

$$x=\frac{5}{3}y$$

ทดแทน \frac{5y}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 5x-3y=34

$$5\times \frac{5}{3}y-3y=34$$

คูณ 5 ด้วย \frac{5y}{3}

$$\frac{25}{3}y-3y=34$$

เพิ่ม \frac{25y}{3} ไปยัง -3y

$$\frac{16}{3}y=34$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{16}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{51}{8}$$

ทดแทน \frac{51}{8} สำหรับ y ใน x=\frac{5}{3}y เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{5}{3}\times \frac{51}{8}$$

คูณ \frac{5}{3} ครั้ง \frac{51}{8} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{85}{8}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{85}{8},y=\frac{51}{8}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x-5y=0,5x-3y=34$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\34\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&-5\\5&-3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\34\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\34\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\34\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 5\right)}&-\frac{-5}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 5\right)}\\-\frac{5}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 5\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\34\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}&\frac{5}{16}\\-\frac{5}{16}&\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\34\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 34\\\frac{3}{16}\times 34\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{85}{8}\\\frac{51}{8}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{85}{8},y=\frac{51}{8}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x-5y=0,5x-3y=34$$

เพื่อทำให้ 3x และ 5x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 5 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$5\times 3x+5\left(-5\right)y=0,3\times 5x+3\left(-3\right)y=3\times 34$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$15x-25y=0,15x-9y=102$$

ลบ 15x-9y=102 จาก 15x-25y=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$15x-15x-25y+9y=-102$$

เพิ่ม 15x ไปยัง -15x ตัดพจน์ 15x และ -15x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-25y+9y=-102$$

เพิ่ม -25y ไปยัง 9y

$$-16y=-102$$

หารทั้งสองข้างด้วย -16

$$y=\frac{51}{8}$$

ทดแทน \frac{51}{8} สำหรับ y ใน 5x-3y=34 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$5x-3\times \frac{51}{8}=34$$

คูณ -3 ด้วย \frac{51}{8}

$$5x-\frac{153}{8}=34$$

เพิ่ม \frac{153}{8} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=\frac{425}{8}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{85}{8}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{85}{8},y=\frac{51}{8}$$