แก้โจทย์ {l}{3x-2y=-4}{2x+y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = - 4 } \\ { 2 x + y = 2 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=0$$

$$y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x-2y=-4,2x+y=2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-2y=-4$$

เพิ่ม 2y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=2y-4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-4\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -4+2y

$$x=\frac{2}{3}y-\frac{4}{3}$$

ทดแทน \frac{-4+2y}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x+y=2

$$2\left(\frac{2}{3}y-\frac{4}{3}\right)+y=2$$

คูณ 2 ด้วย \frac{-4+2y}{3}

$$\frac{4}{3}y-\frac{8}{3}+y=2$$

เพิ่ม \frac{4y}{3} ไปยัง y

$$\frac{7}{3}y-\frac{8}{3}=2$$

เพิ่ม \frac{8}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{7}{3}y=\frac{14}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{7}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน x=\frac{2}{3}y-\frac{4}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{2}{3}\times 2-\frac{4}{3}$$

คูณ \frac{2}{3} ด้วย 2

$$x=\frac{4-4}{3}$$

เพิ่ม -\frac{4}{3} ไปยัง \frac{4}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=0$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=0,y=2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x-2y=-4,2x+y=2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&-2\\2&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-4\right)+\frac{2}{7}\times 2\\-\frac{2}{7}\left(-4\right)+\frac{3}{7}\times 2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=0,y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x-2y=-4,2x+y=2$$

เพื่อทำให้ 3x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\left(-4\right),3\times 2x+3y=3\times 2$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6x-4y=-8,6x+3y=6$$

ลบ 6x+3y=6 จาก 6x-4y=-8 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x-6x-4y-3y=-8-6$$

เพิ่ม 6x ไปยัง -6x ตัดพจน์ 6x และ -6x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-4y-3y=-8-6$$

เพิ่ม -4y ไปยัง -3y

$$-7y=-8-6$$

เพิ่ม -8 ไปยัง -6

$$-7y=-14$$

หารทั้งสองข้างด้วย -7

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน 2x+y=2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x+2=2$$

ลบ 2 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=0$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=0$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=0,y=2$$