แก้โจทย์ {l}{3x-2y=-3}{2x+4y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = - 3 } \\ { 2 x + 4 y = 2 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=\frac{3}{4}=0.75$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x-2y=-3,2x+4y=2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-2y=-3$$

เพิ่ม 2y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=2y-3$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-3\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย 2y-3

$$x=\frac{2}{3}y-1$$

ทดแทน \frac{2y}{3}-1 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x+4y=2

$$2\left(\frac{2}{3}y-1\right)+4y=2$$

คูณ 2 ด้วย \frac{2y}{3}-1

$$\frac{4}{3}y-2+4y=2$$

เพิ่ม \frac{4y}{3} ไปยัง 4y

$$\frac{16}{3}y-2=2$$

เพิ่ม 2 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{16}{3}y=4$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{16}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{3}{4}$$

ทดแทน \frac{3}{4} สำหรับ y ใน x=\frac{2}{3}y-1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{3}{4}-1$$

คูณ \frac{2}{3} ครั้ง \frac{3}{4} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{1}{2}-1$$

เพิ่ม -1 ไปยัง \frac{1}{2}

$$x=-\frac{1}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{3}{4}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x-2y=-3,2x+4y=2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3\times 4-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 4-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{8}&\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-3\right)+\frac{1}{8}\times 2\\-\frac{1}{8}\left(-3\right)+\frac{3}{16}\times 2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\\frac{3}{4}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{3}{4}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x-2y=-3,2x+4y=2$$

เพื่อทำให้ 3x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\left(-3\right),3\times 2x+3\times 4y=3\times 2$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6x-4y=-6,6x+12y=6$$

ลบ 6x+12y=6 จาก 6x-4y=-6 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x-6x-4y-12y=-6-6$$

เพิ่ม 6x ไปยัง -6x ตัดพจน์ 6x และ -6x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-4y-12y=-6-6$$

เพิ่ม -4y ไปยัง -12y

$$-16y=-6-6$$

เพิ่ม -6 ไปยัง -6

$$-16y=-12$$

หารทั้งสองข้างด้วย -16

$$y=\frac{3}{4}$$

ทดแทน \frac{3}{4} สำหรับ y ใน 2x+4y=2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x+4\times \frac{3}{4}=2$$

คูณ 4 ด้วย \frac{3}{4}

$$2x+3=2$$

ลบ 3 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=-\frac{1}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{3}{4}$$